انتقال گرما

گرما

گرما نوعی انرژی است که به علت اختلاف دما بین دو سیستم، از یکی به دیگری منتقل می‌شود. (گرما همواره در حال عبور از مرزهای سیستم است.)

دما

کمیتی است بیانگر مقدار گرمای یک جسم. دما معیاری است برای تعیین میزان گرمی یا سردی یک جسم.

یکای این کمیت در سیستم متریک درجه کلوین می‌باشد. سایر واحدهای این کمیت عبارت‌اند از:

درجه سلسیوس (درجه سانتیگراد)
درجه فارنهایت

درجه رانکین نیز واحدی برای اندازه گیری دما است. ۲ واحد سانتی گراد و فارنهایت دمای نسبی، و ۲ واحد کلوین و رانکین دمای مطلق هستند. در واقع کلوین همان صفر مطلق در سیستم متریک است.

برخی از دماهای مهم

موضوع دما بر حسب سانتیگراد

نقطهٔ جوش هیدروژن مایع ۲۳۵-
نقطهٔ جوش اکسیژن مایع ۱۸۳-
نقطهٔ انجماد الکل ۱۱۵-
نقطهٔ انجماد جیوه ۳۹-
نقطهٔ ذوب یخ ۰
دمای بدن انسان سالم ۳۷
نقطهٔ جوش الکل ۷۹
نقطهٔ جوش آب ۱۰۰
نقطهٔ جوش جیوه ۳۵۷
نقطهٔ ذوب طلا ۱۰۶۷
دمای هستهٔ زمین ۳۷۰۰
دمای سطح خورشید ۵۷۰۰

سامانه

سامانه یا سیستم (به انگلیسی: System) مجموعه یا گروهی از اشیاء مرتبط یا غیر مرتبط است که هدف یا اهدافی خاص را دنبال می‌کنند، به گونه‌ای که واحدی پیچیده را تشکیل دهند.

سامانه یا سیستم (منظومه، و دستگاه هم گفته شده است؛ مانند: منظومهء شمسی - Solar system، و دستگاه معادلات خطّی - System of linear equations) چیده‌ای از عناصر پیوسته‌ای است که یک تمامیت یگانه را تشکیل می‌دهند. چنین ترکیب و چیده‌ای معمولاً مجموعه‌ای منظم را درست می‌کند و به همین رو به آن سامانه می‌گویند که از واژه پارسی سامان به معنی نظم و ترتیب گرفته شده‌است. به بخشی از یک سامانه که خود جزئی از یک سامانه دیگر باشد زیرسامانه می‌گویند. یک سامانه معمولاً دربرگیرنده بخش‌ها و عناصری است که بهم پیوسته شده‌اند تا جریان و روند داده‌ها، ماده یا انرژی را آسان تر سازند. یک سامانه معمولاً واحدهایی دارای برهمکنش دارد که برای آنها می‌توان الگوهای ریاضی تشکیل داد.

شرط انتقال حرارت

شرط انتقال حرارت خود به خودی، اختلاف دما است. اگر دو سیستم در حال ارتباط با یکدیگر هم‌دما نباشند، گرما از ناحیهٔ پر دما (گرم) به ناحیهٔ کم دما (سرد) جریان می‌یابد. و این جریان تا زمانی ادامه می‌یابد که دو سیستم هم‌دما شوند.

چون گرما به دلیل وجودِ گرادیان دمایی شارش می‌یابد، دانستن توزیع دما ضروری است.

گرادیان

در حسابان بردارها گرادیانِ یک میدان نرده‌ای، میدانی برداری‌است که مؤلفه‌های آن نرخ تغییر میدان نخستین را در جهت‌های مختلف نشان می‌دهد. جهت خود میدان برداری گرادیان جهت بیشینهٔ تغییرات است.

به تعبیر دیگربرداری را که اندازه و جهت حد اکثر نرخ فضائی افزایش یک کمیت عددی را نمایش می دهد؛ گرادیان آن کمیت عددی تعریف می کنیم.

$\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1 }, \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n } \right).$

در حالت خاص برای اسکالر ‎f(x,y,z)‎، گرادیان f در دستگاه کارتزین به صورت زیر نوشته می‌شود:

$\mbox{grad}\,f = {\partial f \over \partial x} \mathbf{i} + {\partial f \over \partial y} \mathbf{j} + {\partial f \over \partial z} \mathbf{k} = \nabla f$

کاربرد

مسئلهٔ توزیع دما و شارش گرما در بسیاری از شاخه‌های علوم و مهندسی مطرح است. مثلاً در طراحی دیگ‌های بخار، چگالنده‌ها (کْندانسورها)، مبدل‌های حرارتی و رادیاتورها تحلیل انتقال گرما برای محاسبهٔ اندازهٔ آنها لازم است.

روش‌های انتقال گرما

رسانش
همرَفت
تابش

رسانش

وقتی در محیط ساکنی، که می تواند جامد یا سیال باشد، شیب دما وجود دارد برای انتقال گرمایی که در محیط روی می دهد از واژه ی رسانش استفاده می کنیم. هنگام بحث در مورد رسانش باید مفاهیمی چون فعالیت اتمی و مولکولی را مورد توجه قرار دهیم زیرا فرآیند ها در این سطوح است که انتقال گرما راتداوم می بخشند. رسانش را به عنوان انتقال انرژی از ذرات پر انرژی به ذرات کم انرژی ماده، بر اثر بر هم کنش های بین آن ها می توان دانست.

نمونه هایی از انتقال گرمای رسانشی:

انتهای آزاد یک قاشق فلزی که به طور ناگهانی در فنجان قهوه ی داغی غوطه ور می شود.

انرژی زیادی که در یک روز سرد زمستانی از اتاق گرمی به هوا ی خارج منتقل می شود.

در انتقال حرارت هدایتی رابطه زیر را خواهیم داشت: ${q_s} '' = -k \frac{dT}{dx} = \frac{k}{L} (T_1 - T_2)$ که k همان ضریب هدایت حرارتی می باشد.

[ویرایش] جابجایی

برای انتقال گرمای بین سطح و سیالی متحرک، که دمای آن ها با هم متفاوت است، از واژه ی جابجایی استفاده می شود. انتقال گرمای جابجایی از دو مکانیزم تشکیل می شود. یکی انتقال انرژی ناشی از حرکت تصادفی مولکول ها ( پخش ) و دیگری انتقال انرژی بر اثر حرکت کپه ای ( ماکروسکوپیک ) سیال. وقتی که جریان توسط وسایل خارجی از قبیل فن و یا پمپ به وجود بیاید جابجایی واداشته داریم.در مقابل در جابجایی آزاد، جریان بر اثر نیروهای شناوری بوجود می آید.

نمونه ای از انتقال گرمای جابجایی:

فن های کامپیوتر که برد های داخل کیس کامپیوتر را خنک می کنند.

انتقال حرارت جابجایی شامل دو مکانیزم است :

بواسطه حرکت تصادفی ملکولها (Diffusion)بخش انرژی بواسطه حرکت توده سیال (حرکت ماکروسکوپی سیال)در نزدیکی سطح که سرعت خیلی کوچک است انتقال حرارت بصورت Diffusion صورت می گیرد بتدریج که از سطح دور می شویم انتقال حرارت بوسیله حرکت توده سیال صورت می گیرد.

$\dot{Q} = hA(T_s - T_b)$

[ویرایش] تشعشع

تمام سطوح با دمای معین انرزی را به شکل امواج الکترو مغناطیس گسیل می دارند. از این رو، در نبود محیط واسط، میان دو سطح با دماهای مختلف انتقال گرمای خالص تشعشعی را داریم. به عبارتی دیگر تشعشع گرمایی، انرژی گسیل شده توسط ماده ایست که در دمای معینی قرار دارد. تشعشع می تواند از سطح جامدات، مایعات و حتی گاز ها نیز صورت بگیرد. به طور کلی ماده به هر شکلی که باشد، گسیل انرژی را می توان به به تغییرات وضعیت الکترون های اتم ها یا مولکول های تشکیل دهنده ی آن ارتباط داد. انتقال حرارت به شیوه ی تشعشع بر خلاف دو شیوه ی دیگر نیازمند فضای مادی نیست.

نمونه ای از انتقال گرمای تشعشی:

انتقال حرارت از سطح یک فلز داغ سرخ شده.

تشعشع حرارتی به نوعی از انرژی گفته می شود که از ماده ای با دمای معین صادر می گردد . صدور انرژی به تغییرات ترکیب الکترونی اتمها و ملکولهای متشکله وابسته است .

انرژی میدان تشعشع توسط امواج الکترومغناطیسی (یا فتونها)انتقال پیدا می کند.همه ی اجسام بااستفاده ازاین امواج دردمای بیشترازصفرکلوین ازخودانرژی ساطع می کنند.به این نوع انتقال حرارت، تابش جابجایی می گویند.

[ویرایش] خلاصه

خلاصه مطالب و جدول مقاومت های حرارتی در سه حالت:

معادلات انتقال حرارت و مقاومت گرمایی معادل. نوع انتقال حرارت نرخ انتقال حرارت مقاومت حرارتیرسانش $\dot{Q}=\frac{T_1-T_2}{\frac{L}{kA}}$ $\frac{L}{kA}$ جابجایی $\dot{Q}=\frac{T_{surf}-T_{envr}}{\frac{1}{h_{conv}A_{surf}}}$ $\frac{1}{h_{conv}A_{surf}}$ تشعشع $\dot{Q}=\frac{T_{surf}-T_{surr}}{\frac{1}{h_rA_{surf}}}$ $\frac{1}{h_rA}$
$h_r=a\sigma A_{surf}(T_{surf}+T_{surr})(T_{surf}^2+T_{surr}^2)$

[ویرایش] بقاي انرژي

$\frac {\partial E_{c.v.}}{\partial t}=\dot E_{in}-\dot E_{out}+\dot E_{gen}=(\dot m e)_{in}+q_{in}-(\dot m e)_{out}-q_{out}+\dot q_{gen}$

$E_{c.v.}=\int e \mathrm{d}m=\int_{c.v.} c_{p} T \rho \mathrm {d}v$

اگر ρ و cp ثابت باشند:

Ec.v. = mc.v.cpT

مثال:

بررسي انتقال حرارت در فلاسك چاي:

در فلاسك چاي اگر شرايط واقعي را بخواهيم در نظر بگيريم، هر 3 راه انتقال حرارت رسانشي، جابجايي، تشعشعي وجود دارد. هدف از ايجاد فلاسك اين است كه چاي و يا محتواي خود را از انتقال حرارت با محيط بازدارد، و آهنگ انتقال گرما را به شدت كاهش دهد. از آنجايي كه رسانش نياز به ماده دارد بخش گسترده‌اي از بدنه فلاسك را با جداره‌اي كه بين آن خلاء ايجاد شده مي‌پوشانند. براي جلوگيري از انتقال گرماي جابجايي نيز بايد از بزرگ در نظر گرفتن اندازه فلاسك بدون نياز، پرهيز كرد. با توجه به اينكه اثر انتقال حرارت رسانش و جابجايي تا حدود زيادي با اين روش‌ها كاهش مي‌يابد به سراغ انتقال حرارت تشعشعي مي‌رويم. براي كاهش اين نوع از انتقال حرارت نيز جداره را آينه‌اي مي‌سازيم تا اثر تابش نيز ناچيز شود.

نكته: در حل مسائل، زماني كه مقدار انتقال حرارت جابجايي و رسانش كوچك باشد نبايد از انتقال حرارت تشعشعي صرف نظر كرد، همچنين در صورت بزرگ بودن مقدار دماي سطح و دماي محيط نيز به دليل اينكه هر دو در معادله به توان چهار مي‌رسند نمي‌توان از انتقال حرارت تشعشعي صرف نظر كرد.

مثال: در اتاقي به حجم 8 مترمربع لامپي 100 واتي روشن است، تغييرات دماي اتاق را بر حسب زمان بدست آوريد.

فرضیات : ظرفیت گرمایی و چگتای هوا با دما تغییر نکرده - از ظرفیت گرمایی دیوار صرف نظر کرده ایم - در مورد لامپ روشن در اتاق، اختیار داریم یا اثر ورود کار الکتریکی و یا انرژی تولیدی گرمایی را در نظر بگیریم!

$\frac {\partial E_{c.v.}}{\partial t}=\dot q_{gen}=100 w=m_{c.v.} c_p \frac {\partial T}{\partial t}$

mc.v. = ρV = 1.2 * 8 = 9.6Kg

$c_p=1000 \frac {J}{Kg.K}$

$\frac {\partial T}{\partial t}=0.01 \frac {K}{s}$

T = T0 + 0.01t

مثال: صفحه اتويي با دماي اوليه 400 كلوين و سطحي به مساحت 100 سانتي‌متر مربع در محيطي با ضريب جابجايي 10 وات بر مترمربع كلوين و دماي 300 كلوين قرار دارد اگر ظرفيت گرمايي صفحه اتو 5 كيلوژول بر كيلوگرم كلوين باشد پس از 10 دقيقه دماي صفحه اتو چقدر خواهد شد؟

فرضيات: -دماي كف اتو يكنواخت باشد -انتقال حرارت فقط از يك سمت باشد -خواص ثابت بمانند -تابش ناچيز باشد

$\frac {\partial E_{c.v.}}{\partial t}= -q_{out}$

$mc \frac{dT}{dt}=-hA(T-T_{\infty})$

$\theta=T-T_{\infty}$

$\frac {d\theta}{dt}=-\frac{hA}{mc}\theta$

$\theta=\theta_{0}exp(-\frac{hA}{mc}t)$

$T-T_{\infty}=(T_{1}-T_{\infty})exp(-\frac{hA}{mc}t)$

$\frac{hA}{mc}=2*10^{-5} \frac{1}{s}$

$T-T_{\infty}=100exp(-1.2*10^{-2})=100(1-0.012)=98.8$

اگر تابش نيز در نظر گرفته شود دماي ثانويه چقدر خواد بود؟

ε = 0.8

$m_{c.v.} c \frac {\partial T}{\partial t}=-\epsilon\sigma A(T_{s}^{4}-T_{sur}^{4})-hA(T-T_{\infty})$

$\frac {T_{2}-T_{1}}{\Delta t}=-\frac {\epsilon\sigma A}{mc}(T_{s}^{4}-T_{sur}^{4})-\frac {hA}{mc}(T-T_{\infty})$

T2 − T1 = 0.012 * 100 − 10 − 13 * (175 * 108) = − 1.2 − 0.00175

همانطور كه مشاهده مي‌شود اثر تشعشع در قياس با جابجايي بسيار ناچيز است

از روش سعي و خطا نيز مي‌توان اين مسئله را حل كرد:

$\frac {d T}{d t}=-\frac {h_{r} A}{mc}(T-T_{\infty})-\frac {hA}{mc}(T-T_{\infty})=-\frac {(h+h_{r})A}{mc}(T-T_{\infty})$

$\theta=\theta_{0}exp(-\frac{(h+h_{r})A}{mc}t)$

$h_{r}=\epsilon\sigma A(\bar T^{2}+T_{\infty}^{2})(\bar T+T_{\infty})$

با زدن حدس اوليه T1 را در نظر مي‌گيريم و بعد با استفاده از آن hr را و بعد θ را و بعد T2 و بعد از طريق رابطه

$\bar T=\frac{T_{1}+T_{2}}{2}$

مقدار $\bar T$ را بدست مي‌آوريم اگر مقدار آن با مقدار حدس اوليه برابر بود كه همين در نظر مي‌گيريم در غير اين صورت همين مقدار بدست آمده به عنوان حدس اوليه جديد فرض كرده و دوباره روند قبلي را طي مي‌كنيم تا به جواب دست پيدا كنيم.

مثال: صفحه اتويي با شرایط مسئله قبل اما اینبار پس از رسیدن به حالت دایم، دماي صفحه اتو چقدر خواهد شد؟

فرضيات: -دماي كف اتو يكنواخت باشد -انتقال حرارت فقط از يك سمت باشد -خواص ثابت بمانند -تابش ناچيز باشد

$\frac {\partial E_{c.v.}}{\partial t}= 0$

$\dot E_ {out}=-hA(T-T_{\infty})$

$\dot E_ {in} = \dot W$

$\dot E_ {in} = \dot E_ {out}$

$\dot W = hA(T-T_{\infty})$

$T_{s} = \frac{\dot W}{h . A} + T_{\infty}$

Ts = 1970K

چون دما خیلی زیاد شد، باید در اتو ها همیشه از سنسور دما (ترموستات) استفاده کرد .

قانون فوریه برای یک دیفرانسیل

برای المان زیر در راستای x قانون فوریه را می نویسیم.

$\ q_x=k dy dz \frac{T_x-T_{x+dx}}{dx} ,$

$:q\prime\prime ,$ نرخ حرارت بر واحد سطح

با این تعریف می توانیم برای همه جهات(x و y و z ) نرخ انتقال حرارت را به شکل زیر بنویسیم.
$q\prime\prime_{x}=-k\frac{\partial T}{\partial x}$

$q\prime\prime_{y}=-k\frac{\partial T}{\partial y}$

$q\prime\prime_{z}=-k\frac{\partial T}{\partial z}$

پس میتوانیم نرخ انتقال حرارت بر واحد سطح را به صورت برداری بنویسیم
$\overrightarrow{q\prime\prime} =q\prime\prime_{x}\overrightarrow{i}+q\prime\prime_{y}\overrightarrow{j}+q\prime\prime_{z}\overrightarrow{k} ;$
$\overrightarrow{q\prime\prime} =q\prime\prime_{x}\overrightarrow{i}+q\prime\prime_{y}\overrightarrow{j}+q\prime\prime_{z}\overrightarrow{k} ;$

معادله پخش گرما در سه بعد

روش بدست آوردن معادله پخش گرما (thermal diffiusion equation)

برای حجم کنترل زیر می توانیم معادله بقای انرژی را بنویسیم .

$:q\prime\prime\prime ,$ نرخ حرارت حجمی

$: c\,$ ثابت گرمای ویژه

$: \rho\,$ چگالی
معادله بقای انرژی :

$\frac{\partial E_{c.v}}{\partial t}=\dot E_ {in}- \dot E_ {out} + \dot E_ {gen} \;$
$\frac{\partial E_{c.v}}{\partial t}= \rho\, dv c \frac{\partial T}{\partial t} ;$

$\dot E_ {in}=q\prime\prime_{x} \mid\ _x dy dz + q\prime\prime_{y} \mid\ _y dx dz + q\prime\prime_{z} \mid\ _z dx dy;$

$\dot E_ {out}=q\prime\prime_{x} \mid\ _{x+dx} dy dz + q\prime\prime_{y} \mid\ _{y+dy} dx dz + q\prime\prime_{z} \mid\ _{z+dz} dx dy;$

$\dot E_ {gen}=q\prime\prime\prime_{gen} dx dy dz ;$
با قرار دادن چهار رابطه اخیر در معادله انرژی ، و با تقسیم کردن طرفین بر dx dy dz معادله به صورت زیر در خواهد آمد .