ارتفاع در مثلث

مساحت مثلث

مساحت یک مثلث برابر یک دوم طول یک ضلع، ضرب در طول ارتفاع وارد بر آن، یعنی فاصله رأس سوم تا خط شامل ضلع انتخاب‌شده، است. مساحت مثلث را از رابطه زیر به دست می‌آورند: مساحت مثلث = ( قاعده × ارتــــــفاع ) ÷ 2

مساحت مثلث را با انتخاب هركدام از ارتفاع هاي آن كه به دست آوريم، حاصل يك عدد خواهد بود.

محیط مثلث

محیط مثلث را از رابطه زیر به دست می‌آورند: محیط مثلث = مجموع سه ضلع

مساحت هر نوع مثلث بدون دانستن ارتفاع

فرض می‌کنیم a و b و c اضلاع یک مثلث از هر نوع داده شده باشد (خواه قائم الزاویه - متساوی الساقین - مختلف الاضلاع) فرمول زیر مساحت مثلث را بیان می‌کند:

(if a+b+c=2p → s^2=p(p-a)(p-b)(p-c → یعنی →

توان دوم مساحت مثلث از این فرمول به‌دست می‌آید با یک بار جذر گرفتن از آن مساحت مثلث را خواهیم داشت.

مرکز دایره محاطی محل برخورد نیمسازهای زوایای مثلث است.

با دانستن خصوصیات بعضی از خطوط مانند ارتفاع یا عمود منصف و یا میانه می‌توانیم به نتایج جالبی در مورد دست پیدا کنیم. برخی از این نتایج را بیان میکنیم: اگر بر سه ضلع مثلث خطوطی را عمود میکنیم به طوریکه این خطوط اضلاع را نصف نمایند.(در واقع عمود منصف اضلاع را رسم میکنیم)در این صورت محل برخورد این سه خط، مرکز دایره‌ای خواهد بود که مثلث را احاطه می‌کند . به این دایره، دایره محاطی گویند.این دایره طوری رسم می‌شود که از سه راس مثلث عبور کند. طبق قضیه فیثاغورث اگر مرکز دایره محاطی روی یکی از اضلاع قرار گیرد آنگاه زاویه مقابل آن ضلع قائم خواهد بود.به عبارتی دیگر مثلث ما قائم الزاویه خواهد بود. اگر مرکز دایره درون مثلث باشد، مثلث ما یک مثلث حاده خواهد بود و اگر بیرون مثلث باشد، مثلث از نوع منفرجه خواهد بود. ارتفاع مثلث خط راستی است که از یک راس مثلث عبور کرده و بر ضلع مقابل آن راس عمود می‌شود.ضلعی را که ارتفاع بر آن عمود است را قاعده مثلث گویند.طول ارتفاع، فاصله بین راس و قاعده نظیر ارتفاع است.اگر سه ارتفاع مثلث را رسم کنیم این سه ارتفاع همدیگر را در داخل مثلث قطع می‌کنند مگر در حالتی که مثلث، منفرجه باشد.

محل برخورد نیمسازهای مثلث مرکز دایره محیطی است.

نیمسازهای مثلث

نیمساز یک زاویه از مثلث خط راستی است که از یک راس مثلث گذشته و آن زاویه را به دو قسمت مساوی تقسیم کند. اگر نیمسازهای سه زاویه مثلث را رسم کنیم این خطوط در نقطه‌ای درون مثلث همدیگر را قطع خواهند کرد.این نقطه مرکز دایره محاطی مثلث خواهد بود.این دایره درون مثلث قرار دارد به طوریکه اضلاع مثلث، خطوطی مماس بر دایره هستند.

میانه‌های مثلث

میانه یک مثلث خط راستی است که از راس مثلث گذشته و ضلع مقابل آن را به دو قسمت مساوی تقسیم می‌کند. سه میانه مثلث یکدیگر را در نقطه‌ای به نام مرکز مثلث قطع می‌کنند البته این نقطه مرکز ثقل مثلث نیز می‌باشدهمچنین این نقطه هر میانه مثلث را به نسبت 1 به 2 تقسیم می‌کند به طوریکه فاصله میان راس مثلث تا این نقطه دو برابر فاصله این نقطه تا نقطه میانی ضلع مقابل راس است.tfgtg

روابط بین ضلع‌های مثلث

در مثلث مجموع هر دو ضلع، بزرگتر از ضلع سوم است. در مثلث هر ضلع، بزرگتر از تفاضل بین دو ضلع دیگر است.

روابط بین زوایای مثلث

مجموع زاویه‌های داخلی مثلث 180 درجه است. مجموع زاویه‌های خارجی مثلث 360 درجه است. هر زاویه خارجی برابر مجموع دو زاویه داخلی غیر مجاور آن است. مجموعه زواياي خارجي هر مثلث، دو برابر مجموع زواياي داخلي آن است.

روابط بین ضلع‌ها و زوایای مثلث

روابط بین ضلع‌ها و زوایا در مثلث زاویه مقابل به ضلع بزرگتر از زاویه مقابل به ضلع کوچکتر بزرگتر است. ضلع مقابل به زاویه بزرگتر از ضلع مقابل به زاویه کوچکتر بزرگتر است. زوایای مقابل به اضلاع برابر برابرند و برعکس. هر مثلث متساوی الساقین متقارین است. عمود از رأس به قاعده مثلث متساوی الساقین قاعده و زاویه رأس آن را نصف می‌کند. زوایای قاعده مثلث متساوی الستقین برابرند. در مثلث قائم الزاویه زوایای حاده متمم اند. در مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین، زوایای قاعده 45 درجه اند. در مثلث متساوی الاضلاع تمام زوایای داخلی برابرند، هر یک 60 درجه است. مثلثهای متساوی الاضلاع سه محور تقارن دارند. اگر یکی از زوایای مثلث قائم الزاویه‌ای 30 درجه باشد، ضلع مقابه به آن نصف وتر است.

مجموع اندازه زوایای مثلث

در هندسه اقلیدسی مجموع اندازه زوایای هر مثلث برابر ۱۸۰ درجه‌است.

علم مثلثات بر اساس روابط موجود در مثلث قائم الزاویه تعریف و در علوم مختلف مهندسی بکاربرده می‌شود.

از ویکیپدیا

ارتفاع در مثلث

مساحت مثلث

محیط مثلث

مساحت هر نوع مثلث بدون دانستن ارتفاع

نیمسازهای مثلث

میانه‌های مثلث

روابط بین ضلع‌های مثلث

روابط بین زوایای مثلث

روابط بین ضلع‌ها و زوایای مثلث

مجموع اندازه زوایای مثلث

مطالب مشابه :

ارتفاع در مثلث

مثلث

محیط و مساحت اشکال هندسی

مثلث

مثلث

مثلث

روش محاسبه سطح مثلث و اشکال هندسی

محیط ومساحت اشکال هندسی( مثلث)

محاسبه مساحت در اشکال مختلف هندسی

فرمول محاسبه اشکال هندسی