انتگرال‌گیری به روش جز به جز

روش انتگرال‌گیری جز به جز (Integration by Parts) روشی است که به وسیله‌ی آن می‌توان بسیاری از انتگرال‌هایی را که با استفاده از فرمول‌های رایج قابل حل نیستند، حساب کرد.

این روش خصوصا در مواقعی کاربردی است که تابعی که می‌خواهیم از آن انتگرال بگیریم، حاصلضرب یک تابع جبری و یک تابع مثلثاتی، یا حاصلضرب یک تابع جبری و یک تابع لگاریتمی باشد مانند نمونه‌های زیر:

$\int x \ ln(x) \ dx$

$\int x^2\ e^x\ dx$

$\int e^x\ sin(x)\ dx$

فرمول روش جز به جز به این صورت است:

اگر توابع u و v نسبت به x مشتق‌پذیر باشند، آنگاه:

$\int u \ dv=uv-\int\ v\ du$

اثبات:

این فرمول با استفاده از قانون «مشتق حاصلضرب» بدست می‌آید:

$\frac{d(uv)}{dx}=u\ \frac{dv}{dx}+v\ \frac{du}{dx}$

اگر این فرمول را بازآرایی کنیم داریم:

$u\ \frac{dv}{dx}= \frac{d}{dx} (uv)-v\ \frac{du}{dx}$

که با انتگرال‌گیری از آن نسبت به x فرمول انتگرال‌گیری جز به جز حاصل خواهد شد.

اساس کار این فرمول آن است که یک انتگرال داده شده را به انتگرال دیگری تبدیل می‌کند. اگر u و dv مناسب اختیار شوند، انتگرال جدید ممکن است ساده‌تر از انتگرال اول باشد.

با توجه به اینکه انتخاب u و dv بسیار مهم است، هنگام انتخاب آنها توصیه‌های زیر می‌تواند به انتخاب سریعتر و بهتر کمک کند:

dv را معمولا باید بخش پیچیده‌تر تابع مورد انتگرال‌گیری که به وسیله‌ی فرمول‌های اساسی انتگرال قابل محاسبه باشد، در نظر گرفت.
u را بخشی از تابع مورد انتگرال در نظر می‌گیرند که مشتقش ساده‌تر از v است.

مثال:

$\int x\ sin(x)\ dx=?$

حل:

و $v=\int sin(x)dx=-cos(x)$

$\int x\ sin(x)dx=\int udv=$

$uv-\int vdu=-x\ cos(x)+\int cos(x)dx=-x\ cos(x)+sin(x)+C$

تذکر:

هنگام محاسبه انتگرال به روش جز به جز، u و dv باید به گونه‌ای انتخاب شوند که انتگرال جدید ساده‌تر از انتگرال اصلی باشد. برای نمونه اگر فرض می‌کردیم که:

آنگاه:

و $v=\int xdx=x^2/2$

و روش جز به جز به انتگرال زیر منتهی می‌شد:

$\int x sin(x)dx=\int udv=$

$uv-\int v du=\frac{ x^2}{2} sin(x)-\int \frac{x^2}{2} cos(x)dx$

و مشاهده می‌شود که با این کار انتگرال جدید عملا پیچیده‌تر از انتگرال اصلی است.

ارائه‌ی یک روش ساده برای انتخاب u و v عملا کاری بسیار مشکل است، با وجود این دستور‌العمل‌های کلی‌ای وجود دارند؛ مثلا: «اگر در انتگرال اصلی وجود داشت، نباید dv را گرفت»، زیرا در این صورت توان x پس از اعمال روش جز به جز، بیشتر می‌شود و انتگرال به دست آمده مشکل‌تر از قبلی خواهد بود.