فلسفه ی ریاضی به دنبال چیست؟

1. گفتگوی ناشنوا

پاسخ های مختلف و گاها متضادی برای این سوال هست، که ریاضیات چیست؟ من فکر می کنم مشکل این است که معلوم نیست مناسب ترین نقطه به منظور جستجو برای جواب، کجاست و این مسئله به دلیل ابهام در خود سوال است.
علاوه بر تنوع نظرات در مورد ماهیت ریاضیات، که ما ممکن است برای حمایت از یک نظر یا بر ضد آن نظرات حقایق و یا دلایلی را ارئه دهیم، من نام "گفتگوی ناشنوا" را بر آن گذاشته ام.
فیلسوفان و ریاضیدان هایی وجود دارند که تصور می کنند در مورد موضوع مشابهی صحبت می کنند.
... از ویژگی های تئوری های ریاضی آن است که آنها خود می توانند به موضوع تئوری های ریاضی تبدیل شوند. بنابراین در اصل برای تئوری های ریاضی و تئوری های فلسفی ممکن است که با یکدیگر ناسازگار باشند.
به طور کلی پذیرفته شده است که ریاضیات بازگشتی است، همانطور که کرنر گفته است؛ اما تمامی صاحب نظران در مورد شکل گیری ریاضیات از تئوری ها اتفاق نظر ندارند. به طور مثال ویتگنشتاین می گوید: "هدف روشن شدن افکار منطقی است. فلسفه یک عقیده نیست بلکه یک فعالیت است."
به نظر می رسد کارهای ریاضی گودل، بازتاب های فلسفی زیادی را ایجاد کرده است. به طور مثال رودریگز کانسگرا می گوید: "گودل وجود گزاره درست را اثبات کرد اما لزوما در یک سیستم رسمی نشان نداد که برای شامل شدن حساب غنی است... به نظر من ترتیب فلسفی تر مرتب اینگونه است: ابتدا ثابت کنیم که حقیقت و اثبات پذیری دو چیز متفاوت هستند سپس صحت یک گزاره خاص مستقیما قابل مشاهده است. "
کرنر فراتر از این می رود و این گونه نتیجه گیری می کند که:
...کشفیات ریاضی در قرن حاضر نشان دهنده نادرستی عقیده ای است که با فلسفه های کلاسیکی از تئوری های غیررقابتی ریاضی به اشتراک گذاشته ایم.
اما ، در مقابل این نظر، ویتگنشتاین می گوید:
مسئله فلسفی به این صورت است که: "من در مورد راهم نمی دانم. این همه چیز را به همان صورت ترک می کند، این همچنین ریاضیات را به همان صورت رها می کند و هیچ کشف ریاضی نمی تواند آن را پیش برد."
ما با ویتگنشتاین موافقیم که فلسفه ریاضیات با ریاضیات یا فراریاضیات متفاوت است. اما ما باید دقیقا نشان دهیم که کار فلسفی چگونه انجام گرفته است و تفاوت آن با کار ریاضی در چیست. ویتگنشتاین می گوید "کار فلسفی اساسا شامل روشنگری است." اما آنچه برای یک نفر واضح نیست ممکن است برای شخص دیگری واضح باشد. پوتنم می گوید: " این حقیقت است که فلاسفه همه توافق دارند که "نامشخص" به معنای این نیست که، معلوم نیست." در این اختلاف نظرات بین فلاسفه ریاضیات، مشاهده می شود که فلاسفه به اتفاق آرا توافق ندارند، این احتمالا به خاطر آن است که آنها از ریاضیات و فلسفه چشم اندازی بر اساس پیش تصورات خود دارند. به همین دلیل، اکثر ریاضیدانان تلاش های فلسفی برای توصیف فعالیت های ریاضی را رد می کنند. علاوه بر این، ریاضیدانان به این تلاش فلسفی علاقه ای نشان نمی دهند چراکه آنها تقریبا همیشه نسبت به خود ریاضیات در خارج قرار دارند. سانتیاگو رامیرز می گوید: " آنها به طور سنتی ارتباط بین فلسفه و ریاضیات را اینگونه تصور می کنند که در آن فلسفه، اگر چه پایه های متافیزیکی دارد، تلاش می کند به ریاضیات به عنوان گفتمان فلسفی یا یک هنجار فلسفی نگاه کند. از فیثاغورث تا فلسفه تحلیلی پرسش این است که در کجا برای نمایش ریاضیات به عنوان یک نظم و انضباط ، گفتمان ، و یا نوع خاصی از دانش که در آن فرضیه فلسفی یا معرفت شناختی در مورد وجود ، در مورد حق ، و در مورد روشها تأیید شده است.
اما در مقابل این تظاهر ، رامیرز گفته بود: " «در جوهره ریاضیات مشکل این است که ، در میان دیگران، فلسفه نمی تواند آن را حل و فصل کند " در همین راستا کورانت و رابینز نتیجه می گیرند که: "این فلسفه نیست اما یک تجربه فعال در خود ریاضیات است که به تنهایی می تواند به این پرسش پاسخ دهد که ریاضیات چیست؟"
شاید مشکل از حل این سوال این است که در خود فلسفه رامیرز ، کاوالیز، کورانت و رابینز می گویند: این است، این فلسفه نیست که می تواند پاسخ گو باشد. یا شاید همانطور که هرش گفته است، واقعیت این است که: "به نظر می رسد فلاسفه حرفه ای زیادی نیستند که آنالیز تابعی، توپولوژی جبری و یا فرایندهای تصادفی بلد باشند." این مجددا توسط آمور وقتی که او می گوید، بحث بر سر کار هرش است، نمایش داده می شود : "این بازتابی از ریاضی فعال است، و نه از فیلسوف غیر ریاضیدان و به همین دلیل است که بازتابی واقعی در مورد ریاضیات واقعی است."
اما، چه مقدار ریاضی باید بدانیم که در جهت انعکاس فلسفی ریاضیات کاری انجام دهیم؟ موریس فریشه می گوید: "ریاضیدانان، به عنوان مثال، کل تجزیه و تحلیل ریاضی را نمی دانند." از سوی دیگر، برخی از ریاضی دانان می گویند که تعداد ریاضیدانانی که واقعا می تواند به طور کامل درک استدلالی وایلز در مورد قضیه فرما را متوجه شوند، می توانند در یک سالن سمینار جمع شوند. بنابراین ، معنای عبارت "دانستن ریاضیات" چیست؟ شاید ریاضیدان بودن به تنهایی کافی نیست. شاید لازم باشد خالق بخشی از ریاضیات باشیم. شاید حتی این نیز کافی نباشد، چرا که با پیچیدگی رو به رشد و ناتمام ریاضیات رو به رو هستیم.
بنابراین، چه کسی یا کدام قانون پاسخگوی پرسش "ریاضیات چیست؟" خواهد بود؟ چه نوع عناصری برای این امرخطیر نیاز است؟ برخی از فیلسوفان ، مانند افلاطون، ارسطو و کانت، ریاضیدانان نبودند، اما ایده های مهم در مورد فلسفه ریاضی نوشته اند. فلاسفه دیگر مانند فیثاغورث ، دکارت و لایبنیتز ،فیلسوف و همچنین ریاضیدانان بزرگی بودند. بقیه نیز مانند فرگ و ویتگنشتاین آموزش ریاضیات دیده اند. اما، به نظر می رسد که این شرایط برای اهمیت افکار فلسفی شان را در مورد ریاضیات قطعی نیست.
از سوی دیگر، برخی از ریاضیدانان، مانند کانتور، پوانکاره و فریشه، در میان دیگران ، به شیوه های مختلفی در مورد کار خودشان انعکاس داده اند، و به ما از تجربه غنی تاریخی و روانی خود را سود می بخشند. اما آیا می توان گفت این فلسفه است؟ هرش در این رابطه می گوید:
اما هنر از گفتمان فلسفی امروزه در میان ریاضیدانان حتی در میان درخشان ترین آنها به خوبی توسعه نیافته است. مسائل فلسفی درست به اندازه آنهایی که ریاضی هستند سزاوار مباحثه دقیق، تجزیه و تحلیل به طور کامل توسعه یافته، و در نظر گرفتن علت اعتراضات و مخالفت ها است. یک گزاره ساده یک استدلال نیست ، حتی در فلسفه.
در نتیجه ، به منظور اینکه بدانیم که چگونه می توانیم فلسفه ریاضی انجام دهیم، و اینکه چگونه ما می توانیم اثبات های مختلف در مورد ریاضیات را درک کنیم، پیشنهاد می کنم که ما ابتدا باید دقیقا معلوم کنیم فیلسوف به دنبال چه چیزی است؟ ریاضیدان به دنبال چیست؟ هنگامی که هر کدام از آنها را در مورد ریاضیات سوال مطرح می کنند. اینگونه است که چگونه فرد و دیگران سوال "ریاضیات چیست؟" را متوجه می شود.

2. استدلال ریاضی در مورد ریاضیریاضیدانان ، به طور کلی، توجه چندانی به این پرسش نداشته اند که "ریاضیات چیست؟" فقط تعداد کمی از آنها با توجه و دقت به آن پرداخته اند. با این حال، به نظر می رسد که تقریبا همه آنها فکر می کنند که این مسئله از امور داخلی خود ریاضیات است. به زبان کاوالین: "هیچ تعریف و توجیهی از اشیاء ریاضی، به جز ریاضیات به خودی خود وجود ندارد". اما اگر این گونه باشد، چگونه می توان در مورد ریاضیات توسط خود ریاضیات اندیشند؟ به نظر می رسد سه روش برای این کار وجود دارد: 1) توسط فراریاضیات؛ 2) توسط تاریخ ریاضیات؛ 3) تمرین ریاضیات.

1.2 فراریاضیات
به طور کلی پذیرفته شده است که ریاضیات بازگشتی است. به همین دلیل است که ریاضیات می تواند بر روی نتایج خود به صورت ریاضی دوباره کار کند. با این وجود، اگرچه ما نمی دانیم که ریاضی چیست، این امر می تواند انجام ریاضیات به وسیله ریاضیات را مشکل کند. در هر صورت ، من معتقدم که می توان گفت، حداقل، که انجام ریاضیات به صورت بدیهی و غیر بدیهی ممکن است. پولیا می گوید:
ریاضیات دارای دو چهره است... ریاضیات اقلیدسی ارائه شده به عنوان یک نظام، علم استقرایی یا قیاسی به نظر می رسد اما ریاضیات در ساخت به عنوان علم تجربی ، استقرایی به نظر می رسد.
به عبارت موریس فریشه:
ریاضیات نظریه کاملا منطقی نمی باشد... به رغم این واقعیت که بسیاری از کارهای ریاضی در انجام تحولات منطقی بر گزاره هایی است که به عنوان درست پذیرفته شده است. اما می توان گفت که شهود کار ما را در جهت خاصی هدایت می کند.
به یاد داشته باشیم که استفاده از بدیهیات یک تکنیک است که بر پایه ایده های افلاطون و ارسطو استوار شده است. که شامل دستور خاصی از بدنه دانش (ریاضیات و غیر ریاضیات) است با پیدا کردن تاییدی از بدیهیات که توسط آن می توانیم به باقی بدیهیات در ریاضی برسیم. دانشی که از چنین طریقی به دست آید می تواند، در تئوری، این کار جایگزینی برای دانش سابق همراه با کسب وضوح و دقت است.
در این معنا می تواند فراریاضیات بدیهی و غیر بدیهی وجود داشته باشد. این ویژگی آن دو شکلی است که هر دو از نظریه خاص ریاضی شروع می کنند و یکی دیگر از تئوری های ریاضی را ایجاد می کنند. به نظر می رسد تفاوت در این است که، موردی که بدیهی به نظر می رسد ادعای وضوح بیشتر و دقیق تر می کند، در حالی که مورد غیر بدیهی، جایگزین تئوری اولیه نمی شود. اما در حجم بزرگتری آنها ار رده بندی می کند.
با توجه به تئوری های بدیهی (که به آنها بنیادین نیز می گویند.) من باور دارم که تمامی ریاضیات بدیهی دارای فراریاضیات طبیعی مختص به خود است که در تلاش است تا آن طبیعت و روابط موجودیت های ریاضی را روشن سازد. گودل می گوید:
یک اصطلاح منطقی و یا مجموعه نظریات "بنیادین" برای نظریه شمارش و یا هر قضیه خوش تعریف دیگری در ریاضیات در واقع توضیحی برای آن است و نه یک بنیاد واقعی برای آن. دقیقا همانطور که در فیزیک که عملکرد دقیق بدیهیات آن است که توضیح دهنده پدیده ها باشد به جای آنکه در پی ارائه "بنیاد" واقعی و کلی برای آنها باشد.
محدودیت های سیستم های رسمی در کار بدیهی به خوبی شناخته شده است. به همین دلیل، نظریات بدیهی به طور کلی، جایگزین نظریات ریاضی اولیه نمی شوند بلکه هر دو در کنار هم وجود دارند. هرش می گوید :
پیش فرض رایج این است که ریاضیات باید مبانی کاملا قابل اطمینان داشته باشد. اختلاف نظر در استراتژی است و اینکه چه چیزی را باید قربانی کنیم تا به هدف برسیم. اما این هدف تا کنون به دست نیامده و برخی همچنان آرزومند آن هستند که روزی محقق شود.
با توجه به فراریاضیات غیربدیهی، می توانیم به نظریه گروه ها به حالت پایه اش اشاره کنیم، آنچه کاوالیز آن را "قالب" می خواند. "تحول در یک عملیات به دلیل تحول در عملیات مافوق آن، برای مثال توپولوژی تحولات توپولوژیک." اگر ما تئوری های ریاضی را به عنوان سازه های ابتدایی می بینیم، فراریاضیات ساختارهای دیگری با ساده ترین ساختارها ایجاد می کند. به همین دلیل است که ساختارهای پیچیده تری به وجود می آید که می توان آنها را با مطالعه ساختارهای اولیه، عناصر و ارتباطاتشان واضح کرد.
خلاصه آنکه، فراریاضیات توسعه خود ریاضیات در جهت تبدیل شدن به واحد بیشتر و دقیق تر می باشد. در هر حال می توان گفت هر دو متا تئوری قصد در جایگزین کردن و یا دخیل کردن ساختارهای بنیادین دارند. در واقع ، توضیح دادن و روشن کردن نظریات اولیه ریاضی، تمایل به ریاضیات بیشتر یکدست دارد.
به نظر می رسد که ریاضیدانان که بر فراریاضیات کار می کنند، سوال ریاضیات چیست؟ را با دنبال کردن ارتباط بین عناصر تشکیل دهنده ریاضیات درک کرده اند.

2.2 تحلیل تاریخی
در مخالفت با فراریاضیات، برخی ریاضیدانان مانند ر.تام می گویند این کارها کافی نیست چرا که:
فرموله کردن، وضعیتی است برای بسیاری از آنچه که آنها معمولا به عنوان ریاضیات فهمیده اند، و چیز جدیدی در مورد توسعه آن نمی گوید.
به همین دلیل برخی از مردم فکر می کنند جوابی که بیشترین فایده را برای کارهای ریاضی دارد، باید از تجزیه و تحلیل تاریخی بر روی حقایق روشن و روش ها باشد که اجازه رشد به ریاضیات داده است.
در میان آثار تاریخی که حداقل دو عنصر مهم در مورد "ریاضیات چیست؟" وجود دارد: الف) آنهایی که به مطالعه منشا و توسعه عناصر ریاضی پرداخته اند. و ب) آنهایی که در نتیجه تجزیه و تحلیل و یا بازتابی - اکتشافی روانی درون خود هستند.
با توجه به آنچه گفته شد، گارسیادیگو می گوید:
به عنوان مورخان ریاضیات و علوم ما مشتاق آن هستیم که منشا مشکلاتی را که بشر در گذشته سعی در حل آن داشته است را بیابیم. ایده هایی که آنها به عنوان نقطه شروع استفاده کرده اند و نتایجی که انتظار داشته اند، اینگونه است چگونگی به دنیا آمد، رشد کردن و تغییرات یک ایده به منظور مطابقت با حوزه علم.
همه تاریخ بازسازی مفهوم داده است که در نظر به یکدیگر مربوط است. این به معنی یک تفسیر از آن داده است. "تاریخ زمانی پدیدار می شود که گاه شناسی انتخاب شود، سازماندهی گردد، به هم مربوط شود و در نهایت توضیح داده شود". بنابراین تاریخ ریاضیات توضیحی از مراحل و منشا یک تنوری را به جای نمایش مجرد نتایج پایانی یک تئوری در اختیار ما میگذارد. و به اعتقاد من، اجازه می دهد که ما درک بهتری از ریاضیات و چگونگی متولد شدن و بزرگ شدن آن داشته باشیم.
در سوی دیگر ، با توجه به آثار اکتشافی-روانی ، می توانیم به پاپوس ، در پایان قرن سوم میلادی اشاره کنیم. پولیا و ولمان در روزهای ما، در حال عبور از کنار دکارت، لایبنیتس، و پوانکاره و دیگران هستند. آنها به طور کلی در حال معامله با راه های آگاهانه یا غیر آگاهانه ای بودند که ریاضیدانان برای حل مسئله به دنبال آن بودند. استدلال کاهنده قوی ارائه شده توسط پاپوس، روش تجزیه و تحلیل- سنتز مورد استفاده در کتاب سیزدهم عناصر اقلیدس، کاهش برهان تبلیغ استفاده شده توسط الاتیکس، استقراء ریاضی، استقرای مشابه، و طراحی اشکال به عنوان منبع، در میان دو کار دیگر. به نظر می رسد که در تمام این کارها، ریاضیدانان همواره توسط "حس زیبایی است که تمام ریاضیدانان می دانند... به دلیل اینکه ترکیبات مفید وجود دارد، فقط، زیباترند". گاهی اوقات به کار آنها توسط ضمیر ناخودآگاه بسیار کمک می شود، همانظور که پوانکاره و پولیا می گویند. با تمام آن ، آنها سعی می کنند کارکرد ریاضیات را توصیف کنند، تا اینکه چگونه ریاضیات تبدیل به ریاضیات کنونی شده است.
به طور خلاصه ، تاریخ ریاضیات به ما رویکردی به عناصر ذهنی می دهد که در ساخت عناصر قابل مشاهده ریاضیات استفاده شده است. در نتیجه، به نظر می رسد که مورخان ریاضی سوال ، ریاضیات چیست؟ را با یافتن موتورهای توسعه ریاضیات درک کرده اند.

3.2 تمرین ریاضی
در نهایت ، برای بسیاری از ریاضیدانان ، مانند کورانت و رابینز:
اینکه نقاط ، خطوط ، اعداد "در واقع" چه هستند نمی تواند و نباید در علم ریاضی بحث شود. اینکه چه چیزی درست است و چه چیزی حقایقی "قابل اثبات" است مربوط به ساختارها و روابط بین آنها است. برای دانش پژوهان و عامه مردم این فلسفه نیست ]حتی شاید تاریخ هم نیست[ اما تجربیات فعال در ریاضیات به خودی خود می تواند به تنهایی به این پرسش پاسخ گوید که ریاضیات چیست؟
به عنوان مثال آنچه ریاضیدانان را در مورد اعداد گرفتار کرده است، کلیت آنان، وجود واقعی برخی از اعداد مانند اعداد غیر منطقی، اعداد متعالی، اعداد آرمانی و غیره ، و برخی از مشکلات ناشی از آنان مانند مشکل تسلسل یا مشکل بی نهایت بودن است.
شاید ، همانطور که روزی نیوتن - دا کوستا گفت، ما هم بتوانیم بگوییم: ریاضیات تمام آن چیزی است که در کتب و مجلات ریاضی آمده است.
این ، البته ، خصوصیات کافی نیست، اما در دفاع از آن، می توان گفت که "ریاضیات رشته ای پایان ناپذیر است با توجه به موتور پیشرفت به نظر می رشد از تمامی تحقیق ها فراری است."
ریاضیدانانی مانند خود کاوالیز هستند که در برخی از کارهایشان متوقف نمی شوند و سعی می کنند ریاضیات را بر پایه تمرینات خودشان توصیف کنند. این مورد زمانی است که جی دی لورنزو می گوید :
این افسانه است که همه کار ریاضی که کار منطق نحوی باشد... در عملیات ریاضی، بدیهیات نقطه شروع نیستند، آنها کلید فرآیند دانش نیستند بلکه مفاهیم هسته ای، یا بعضی اوقات، فرضیه یا حدسیات هستند.
بنابراین به نظر می رسد که برخی از ریاضیدانان با پرسش در مورد کارهای ریاضی به درک سوال، ریاضیات چیست؟ رسیده اند، که این سوالی است در مورد اینکه ریاضیدانان چه کارهایی انجام می دهند.

حاشیه متن
بر اساس آنچه آموخته ام ریاضیات را در دو جهت می توان توسعه داد، یکی به سوی ریاضیات عالی یا به عبارتی فرا ریاضیات و دیگری به سوی مبانی ریاضیات و شاکله هایی با تجرد و سادگی هرچه بیشتر که ساختارهای بنیادی را تشکیل می دهند.
در فلسفه ریاضیات به دنبال چیستی ریاضیات هستیم و سعی در یافتن بنیاد هایی برای آن داریم یکی از سوال هایی که در این زمینه با آن مواجه می شویم آن است که ماهیت این بنیاد ها چیست و اساسا این بنیاد ها وجود دارند یا خیر. در این راه همانطور که بارها در کلاس بحث کردیم به دنبال آن هستیم تا اعمال ریاضی را توصیف کنیم، رابطه بین ریاضیات و علوم طبیعی را بیابیم و اساسا به این سوال پاسخ دهیم که آیا ریاضیات ارائه دهنده حقایق تردید پذیر است یا خیر.
به منظور پاسخ گویی به سوال مطرح شده باید منطق استدلال ها را شناسایی کنیم و این حقایق را عمق ببخشیم و به این ترتیب بتوانیم جایگاه ریاضیات را در میان معارف بشری مشخص کنیم که البته تمام اینها نیازمند اندیشه و مباحثه است.
با توجه به مقاله ترجمه شده و همچنین مطالعات جانبی که داشتم عده ای می گویند ریاضیات چیزی است که ریاضی دانان انجام می دهند و متشکل از همۀ حوزه های مربوط به موضوع های کمی، هندسی یا منطقی است که شامل آمار، علوم کامپیوتر، منطق، ریاضیات کاربردی، ... است. در ابنجه در صدد آن بر آمدم تا برای درک واقعی چیستی ریاضیات به بررسی نظریات دانشمندان بزرگ معتقد به مکتب های گوناگون (منطق گرایی، شهود گرایی، حقیقت گرایی و ...) بپیردازم.
کانت معتقد است "ریاضیات به وسیله شهود محض ما معین می شود، بنابراین تصور چیزی مخالف با ریاضیات غیرممکن است".
برخی دیگر معتقدند که ریاضیات سرعت بخشیدن به محاسبات است. در این تعریف، محاسبات تنها به نوع عددی آن محدود نمی شود. این تعریف اعمال جبری و کار با عبارات منطقی را شامل می شود. به عبارت دیگر می توان گفت بر طبق این نظریه، هر بخش از ریاضیات باید دارای محتوی منطق گونه باشد. سوالی که معمولا در مقابل این افراد قرار می دهند آن است که چرا ما اغلب برهان های ظریف تر ولی با موانع بلندتر را بیشتر می پسندیم و یا چرا از اثبات عدم امکان چیزی بسیار لذت می بریم.
فیلسوف مشهور هائو واگ معتقد است که بارزترین خصوصیات ریاضیات، قطعیت، تجرد و دقت، دامنه وسیع کاربردها، و زیبایی بی پیرایۀ آن است . این دقت و قطعیت به میزان زیادی به علت مجرد بودن آن است که تا اندازه ای کاربردپذیری گستردۀ آن را نیز توضیح می دهد. اما ارتباط نزدیک با دنیای فیزیکی خصوصیتی اساسی است که ریاضیات را از بازی صرف با نمادها متمایز می سازد. ریاضیات منطبق است بر تمامی آن چه در علم، دقیق محسوب می شود.
بورباکی و پیروانش معتقدند که ریاضیات مطالعه ساختارهای مجرد است. تعدادی کتاب با نفوذ در اثبات این نظریه نوشته شده است . در این کتاب ها کوششی آگاهانه برای رها ساختن ریاضیات از کاربردهای آن انجام شده است، که به عقیده بنده کار درستی نیست چراکه به این ترتیب ناسازگاری هایی در مبانی پدید می آید که ریشه در نادیده گرفتن کاربردها دارد.
پیروان فیثاغورس معتقد بودند که طبیعت از عدد ساخته شده است و اعداد موجب ایجاد کیفیات گوناگون در جهان می شوند و لذا می توان با آگاهی از روابط بین مفاهیم ریاضی دنیای اطراف خود را شناخت . مثلاً می گفتند چون کره کامل ترین اشکال است، پس باید زمین کروی باشد.
کپرنیک آفریدگار را یک ریاضی دان می دانست و اعتقاد داشت که طبیعت را باید با ریاضیات تبیین کنیم . افلاطون در کتاب جمهورش ریاضیات را کاربردپذیر قلمداد می کند، زیرا این دنیا را صرفاً تقریبی از واقعیت ریاضی متعالی تر می پنداشت. چنان که حتی حرکت سیارات را نسبت به حرکت ریاضی محض در رتبۀ پایین تری قرار می داد. وی معتقد بود خداوند همواره به کار هندسه مشغول است. گالیله عقیده داشت که ریاضیات بهترین کلید گشودن رازهای طبیعت و معقول نمودن محسوسات و اساسا زبان علم است. کپلر سرشت واقعی اشیاء را ریاضی و به علاوه قابل استنتاج و تبیین از عالم مشهود می دانست. دکارت معتقد بود که ریاضیات بنیان تمامی علوم است و اساساً تجربه به ما معرفت یقینی نمی دهد. ارسطو ریاضیات را نظامی صوری ولی مأخوذ از تجربه، یعنی انعکاس دنیای بیرون از ذهن در آن، می دانست. به زعم وی اشیاء ریاضی به وسیلۀ خرد از جهان فیزیکی تجرید می شوند. از طرفی انیشتن اینگونه می گفت:
"می توان به کمک ابزارهای صرفا ریاضی مفاهیم و قوانین مرتبط کننده را که کلید شناخت طبیعت است، به دست آورد ... آزمایش ممکن است الهام بخش مفاهیم ریاضی مناسب باشد، اما به طور قطع نمی توان این مفاهیم را از تجربه استنتاج کرد . البته آزمایش همچنان یگانه معیار مفید بودن ساختارهای ریاضی خواهد بود، اما خلاقیت در جنب ۀ ریاضی مطلب است . بنابراین به یک اعتبار، من عقیده دارم ، همان طور که قدما تصور می کردند، فکر محض می تواند به درک واقعیت نائل شود."
نیوتن به ریاضیات به عنوان زبانی برای توصیف طبیعت و نه کشف آن می نگریست. وی معتقد بود که دستگاه های ریاضی زیادی وجود دارند که خداوند می تواند برای راه انداختن جهان از آن ها استفاده کرده باشد و فقط مشاهدۀ طبیعت آن را معین می کند، نه یک انتخاب ذهنی مقدم بر تجربه.
در نهایت با توجه به مقالات و کتبی که به آنها مراجعه کردم و با توجه به آنچه از کلاس آموخته ام:
به عقیده من تمام توسعه ی ریاضیات دارای ریشه هایی روانی در خواسته ها و فعالیت های عملی بشر می باشد اما بعد از این که یک بار فشار ضرورت عملی موجب ایجاد زیاضیات گردید، به صورتی اجتناب ناپذیر با استفاده از نفس خود از حدود فواید فراتر می رود. چنین به نظر می رسد که توجه وتأکید بیش از اندازه به جنبه ی استنتاج ریاضیات با اتکای به اصول می تواند موجب خطر بزرگی برای این دانش شود. این نکته حقیقت دارد که مبانی هرنوع اختراع سازنده ومحرک می تواند تن به تعبیر وبیان فلسفی ساده ای ندهد(همان طور که در ریاضیات شاهد آن هستیم) معهذا این مبانی ریشه و اساس هرگونه اکتشافات ریاضی، حتی در مجرد ترین حوزه های علم می باشند. اما باید توجه کنیم که تعریف ریاضیات در چارچوب دستگاهی از نتایج که ابتدا بر تعاریف واصول حاصل می گردد و این اصول فقط باید به تضاد نینجامد و با این شرط ریاضیدان می تواند آن هارا به خواسته ی خود انتخاب کند صحیح نیست چرا که در این حالت هیچ انسان خلاق و باهوشی جذب این رشته نمی شد در صورتی که بسیاری از افرادی که در پی این رشته هستند از ضریب هوشی بالایی بهره مندند.

منابع:
1-    philosooh of mathemathics by J.Avigad
2-    Philosophy of Mathematics and Ontological Commitment by Joseph Vidal-Rosset
3-    کتاب ریاضیات چیست؟ نوشته ریچاردکورانت وهربرت رابینز ترجمه حسن صفاری
4-    جزوه کلاس فلسفه علم – دانشگاه صنعتی امیرکبیر – زمستان و بهار 88-89 – مدرس: دکتر رئیسی

فلسفه ی ریاضی به دنبال چیست؟

مطالب مشابه :

راهنمایی برای نگارش پایاننامه ریاضی محض، پروپوزال ریاضی محض، پایاننامه و سمینار و پروپوزال

انجام پایان نامه ریاضی

دانلود کتب دانشگاهی

دانلود مجموعه ای از کتاب های هندسه جبری و نظریه اعداد

طرح درس ریاضی دوم دبیرستان

فلسفه ی ریاضی به دنبال چیست؟

روش مطالعه گسسته

منابع کنکور کارشناسی ارشد ریاضی دولتی و آزاد

دانلودکاب