اندازه و انتگرال لبگ
اندازه ی لبگ (Lebesgue Measure)، توسیع مفاهیم طول و مساحت به مجموعه های بسیار پیچیده است. مجموعه ی باز شامل عناصر مجزا (disjoint) (یعنی اشتراک آنها تهی باشد. می توان از انها با عنوان مجموعه های مستقل نیز یاد کرد.)، معلوم است. اندازه ی لبگ به صورت زیر تعریف می شود
چنانچه مجموعه ی انتخابی بسته (closed set) باشد یعنی ، آنگاه داریم
یک پاره خط به طول واحد، اندازه ی لبگ ۱ دارد، اندازه ی لبگ مجموعه ی کانتور (Cantor set) صفر است. اندازه ی مینکوفسکی (Minkowski measure) یک مجموعه ی بسته کراندار ، در حقیقت همان مفهوم اندازه ی لبگ را در پی دارد (Ko 1995).
انتگرال لبگ (Lebesgue Integral) برحسب جملات کران بالا و پایین و بکارگیری اندازه ی لبگ یک مجموعه حاصل می شود. در این تعریف، از جمع لبگ (Lebesgue sum) که در آن مقدار تابع در زیربازه ی و اندازه ی لبگ مجموعه ی ازنقاطی است که برای آنها مقادیر تقریباْ برابر با هستند. این انتگرال، دسته ی عظیمی از توابع انتگرالپذیر که انتگرال ریمان (Riemann integral) آنها را در بر نمی گیرد، را تحت پوشش قرار می دهد.
انتگرال لبگ یک تابع در فضای اندازه (measure space) ، به صورت زیر نوشته می شود
یا اغلب
که تاکیدی بر این موضوع باشد که انتگرال نسبت به اندازه (measure) گرفته می شود.
منابع:
Croft, H. T.; Falconer, K. J.; and Guy, R. K. Unsolved Problems in Geometry. New York: Springer-Verlag, p. 4, 1991.
Kestelman, H. "Lebesgue Measure." Ch. 3 in Modern Theories of Integration, 2nd rev. ed. New York: Dover, pp. 67-91, 1960.
Ko, K.-I. "A Polynomial-Time Computable Curve whose Interior has a Nonrecursive Measure." Theoret. Comput. Sci. 145, 241-270, 1995.
Kestelman, H. "Lebesgue Integral of a Non-Negative Function" and "Lebesgue Integrals of Functions Which Are Sometimes Negative." Chs. 5-6 in Modern Theories of Integration, 2nd rev. ed. New York: Dover, pp. 113-160, 1960.
Papoulis, A. Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, 2nd ed. New York: McGraw-Hill, p. 141, 1984.
مطالب مشابه :
انتگرال ریمان
دریای ریاضی - انتگرال ریمان - آموزش ریاضی، دانلود رایگان جزوه های دانشگاهی،کتاب های
انتگرال ریمان
انتگرال ریمان، در آنالیز حقیقی، اولین تعریف دقیق از انتگرال تابع در یک بازه شناخته میشود.
انتگرال ریمان
ریاضیات دبیرستان - انتگرال ریمان - - ریاضیات دبیرستان این وبلاگ برای تمامی علاقمندان به
انتگرال
از مهمترین تعاریف در انتگرال میتوان از انتگرال ریمان و انتگرال لبگ (Lebesgue) است.
اندازه و انتگرال لبگ
انتگرال لبگ (Lebesgue این انتگرال، دسته ی عظیمی از توابع انتگرالپذیر که انتگرال ریمان (Riemann
انتگرال
انتگرال معین بنا به تعریف، نماد را انتگرال معین نامیده و حاصل آن را به ازای عددی به صورت زیر
انتگرال و دعوای نیوتن و لایب نیتز
گنجینه ریاضی - انتگرال و دعوای نیوتن و لایب نیتز - علمی، پژوهشی، فرهنگی و انتشاراتی
برنهارد ریمان
دانلود کتب و جزوات ریاضی و هندسه - برنهارد ریمان - Mathematics and Geometry
انالیز ریاضی
در اواسط قرن نوزدهم ریمان تئوری انتگرال گیری خود را که به انتگرال ریمان معروف است ارائه
برنهارد ریمان
دانلود رایگان کتب و جزوات ریاضی و هندسه - برنهارد ریمان - Mathematics and Geometry - دانلود رایگان کتب و
برچسب :
انتگرال ریمان