رياضي عمومي 1 – پيام نور

  مقدمه

محور xها محوري افقي كه در روي آن نقطه اي به عنوان مبدأ اختياري مي شود و محوري بر مبدأ بر آن عمود مي شود كه به آن محور yها مي گويند. از مبدأ به سمت راست روي محور xها جهت مثبت و به سمت چپ جهت منفي و روي محور Yها به سمت بالا جهت مثبت و به سمت پايين جهت منفي در نظر گرفته مي شود.

  مختصات دكارتي :

انتخاب واحدي يكسان روي محور xها و Yها باعث تعريف دستگاه مختصات دكارتي مي شود. با دو عدد A و B و در نظر گرفتن نقطه اي كه A طولش و B عرض ناميده مي شود اين نقطه را مي شود در محورها نشان داد.
به طور كلي دو محور xها و Yها چهار ناحيه را پديد مي آورند. كه آنها را ربع اول يا ناحيه اول ربع دوم يا ناحيه دوم . ربع سوم يا ناحيه سوم و بالاخره ربع چهارم يا ناحيه چهارم مي نامند. در ناحيه اول يا ربع اول xها و Yها مثبت هستند در ربع در ناحيه دوم xها منفي و Yها مثبت در ناحيه در ناحيه سوم X و Y هر دو منفي و در ناحيه چهارم xها مثبت و Yها منفي هستند. برايد و نقطه با مختصات معلوم A و B فاصله آن دو نقطه را راديكال تفات طول ها به توان 2 به علامت تفاوت عرض ها به توان 2 مي شود به دست آورد. در حالي كه طول هاي دو نقطه با هم برابر باشند فاصله 2 نقطه قدر مطلق تفاوت عرض ها و در حالي كه عرض هاي دو نقطه با هم برابر باشند فاصله 2 نقطه قدر مطلق تفاوت طول ها مي باشد. فاصله 1 نقطه با مختصات معلوم تا مبدأ مختصات يعني O راديكال مجموع مربعات طول و عرض آن نقطه خواهد بود.

شيب خطي كه از دو نقطه با مختصات معلوم A و B مي گذرد برابر است با تفاوت Yها به تفاوت طول ها اگر اين نقطه را A‌و B بناميم .
شيب AB برابر است با YB به روي YA به روي XB منهاي XA. مي توان ثابت كرد كه شيب خطي كه از دو نقطه B و A مي گذرد به انتخاب محل B و A بستگي ندارد. شيب خط را مي شود به عنوان tan زاويه اي كه آن خط با جهت مثبت محور xها مي سازد تعريف كرد. اگر اين زاويه را θ بناميم . تتا زاويه اي خواهد بود كه بين صفرو 180 درجه تغييرمي كند. شيب خط افقي به اين ترتيب tan صفر درجه يا خود صفر درجه خواهد بود . ديشب خط عمودي را اصطلاحاً مي گويند بي نهايت يا مي گويند وجود ندارد يا اينكه tan 90 درجه خواهد بود. شيب خطي كه با جهت مثبت محور xها زاويه ي حاد مي سازد عددي مثبت كه با جهت ثبت محور xها زاويه منفرجه مي سازد عددي منفي خواهد بود براي اينكه به ترتيب tan زاويه حاد عددي مثبت و tan زاويه منفرجه عددي منفي است.

  مثال : نقاط

مفروضند زاويه ي

را بدست آوريد.

B = 45º ---> α = 90 - 45 = 45º

  نمودار

معادله خط : شرط لازم و كافي براي عمود بودن دو خط اين است كه حاصلضرب ضريب زاويه هاي آن ها منهاي يك شود و شرط لازم و كافي براي موازي بودن آنها برابري شيب هاي آن دو خط است. اگردو نقطه روي امتدادي عمودي باشند معادله خطي كه از آن دونقطه مي گذرد طول يكي از آنها = X و اگر دو نقطه روي امتدادي افقي باشند عرض هاي يكي از آن ها = Y معادله خطي خواهد بود كه از آن دو نقطه مي گذرد.اگر دو نقطه روي امتدادي مايل باشند معادله اي كه از آن دو خط مي گذرد مساوي است با

Y-Y1 = m(X-X1)

X1 و Y1 مختصات يكي از دو نقطه است و M شيب خطي است كه از اين دو نقطه مي گذرد كه برابر است با تفاضل Yها برروي Xها . معادله ي خط را به ترتيبي كه گفتيم اگر بدست بياوريم معادله خواهد بود كه كه بر حسب X و Y از درجه يك است پس آن را مي توان به فرم Y=AX+B در نظر گرفت كه در A شيب خط يا ضريب زاويه كه آن را معادله شيب يا عرض از مبدأ خط مي گويند. و طول از مبدأ خط طول محل تلاقي آن خط با محور طول ها . به طور كلي معادله اي به فرم AX +BY+d=0 كه در آن A,B,C اعدادي ثابت هستند و هر دو A,B صفر نيستند. به سادگي به فرم Y=AX+B قابل تبديل است و كافي كه Y را بر حسب X محاسبه كنيم. نتيجه ي كلي بحث اين است كه معادله هر خط در صفحه معادله اي است خطي يعني بر حسب X, Y از درجه y و بالعكس.

  مثال : معادله خطي را بدست آوريد كه طول از مبدا آن a و عرض از مبدا آن B باشد.

حل : خط مطلوب محور Xها را در (0و9) و محور yها را در (o,b) قطع مي كند پس :

y - 0 = m ( x - a ) ---> ay + bx = ab ---->

  رابطه متوازي الاضلاع:

يك چهار ضلعي وقتي داراي خاصيت متوازي الاضلاع است كه اقطار آن يكديگر را قطع كنند در چنين چهار ضلعي ها مجموع طول هاي دو رأس رو به رو مساوي مجموع طول هاي دو رأس رو به روي ديگر و مجموع عرض هاي دو رأس رو به رو مساوي مجموع عرض هاي دو رأس رو به روي ديگر است. وقتي مي گوئيم دو رأس رو به رو يعني دو سر يك قطر. رابطه ي ديگري بين مختصات سه رأس يك مثلث و محل تلاقي ميانه هاي آن يعني گرانيت گاه برقرار است. اگر M‌را محل تلاقي ميانه هاي يك مثل فرض كنيم xm مساوي با xA+xB+xC بر روي 3 و ym مساوي با مجموع عرض هاي سه رأس تقسيم بر 3 خواهد بود. شرط آن كه سه نقطه A,B,C بر يك استقامت باشند اين است كه AB پاره خط . پاره خط Ad و پاره خط BC اگر طول هايشان را بدست آوريم يكي به لحاظ طول پاره خط مساوي است با مجموع طول هاي دو پاره خط ديگر باشد. شرط ديگر اينكه سه نقطه A,B,C بر يك استقامت باشند(M(AB مساوي (M(AC باشد يعني اينكه شيب AC با شيب AB برابر باشد. فرمول فاصله يك نقطه از يك خط : A به مختصات x1 و y1 فاصله اش از خط AX+ BY+C= 0 از فرمول

و فاصله ي دو خط موازي بعد از برابر سازي ضرايب x و y آن ها به طور جداگانه كه معادله دو خط به فرم Ax+By+d=0 ؛Ax+By+c'=0 تبديل شد فاصله دو خط موازي از دستور بدست خواهد آمد.

  مثال : مختصات نقطه برخورد ارتفاعات مثلثي با سه رأس

كدام است؟
الف) (3و0)
ب) (2و3)
ج) (3و2)
د) ( 6و1)

توجه داريد كه در مثلثهايي كه هر سه زاويه حاده هستند محل تلاقي سه ارتفاع درون مثلث قرار مي گيرد در مثلثي كه يك زاويه منفرجه دارد محل تلاقي سه ارتفاع بيرون مثلث قرار مي گيرد و در مثلثي كه يك قائمه زاويه است محل تلاقي سه ارتفاع رأس قائمه است. توضيحي كه داده ام اين سه نقطه را در صفحه رسم مي كنيم در محور مختصات خواهيم ديد كه مثلثي با زاويه حاده درست مي شود پس گزينه اي غلط است كه بيرون مثلث قرار بگيرد.
حل: مطابق تعريف ارتفاع گزينه اي غلط است كه طولش عدد 3 نبوده درون مثلث قرار نگيرد.

  رابطه و تابع :

تعريف زوج مرتب : يك زوج مرتب يك دو تايي كه در آن ترتيب قرار گرفتن مؤلفه يا اعضا داراي اهميت باشد. به عبارت ديگر زوج (a,b) مساوي نيست با (aوb) مگر آنكه a=b و c=d باشد توجه داريد كه مختصات دكارتي يك نقطه در صفحه يك زوج مرتب هست با اين مقدمه مي توانيم رابطه را تعريف كنيم يك رابطه وقتي كه a,b دو مجموعه هستند مجموعه اي مثل R در نظر گرفته مي شود كه زير مجموعه دلخواهي از a×b البته به ترتيب رابطه اعضايش زوج هاي مرتب خواهند بود براي اينكه a×b عناصرش زوجهاي مرتب هستند. علاوه به آن رابطه ممكن است با نمودار ون ارائه شود كه در آن عناصر مجموعه هاي b و a توسط فلش به همديگر مربوط مي شوند علاوه بر آن باز رابطه ممكن شكلي در محورهاي مختصات باشد و يا بالاخره رابطه اي بين yوx باشد كه در آن x را مي گوييم متغير مستقل y را مي گوييم متغيير وابسته.
به اين ترتيب ما براي يك رابطه چهار نوع تعريف بيان كرديم . با زوج هاي مرتب با نمودار ون با مشكلي در محورهاي مختصات و ارتباطي بين y و x.

  تعريف تابع :

تابع رابطه اي است كه با زوج هاي مرتب ارائه شده باشد به شرطي كه مؤلفه هاي اول با هم برابر نباشند اگر رابطه با نمودار ون ارائه شده باشد اين به شرطي تابع است كه ابتداي فلش ها به هم نچسبد. اگر با شكلي در محورهاي مختلف رابطه اي را ارائه كرده باشند اين رابطه به شرطي تابع است كه هيچ خط موازي محور yها او را در بيش از يك نقطه قطع نكند. اگر رابطه بين X‌و y داشته باشيم در اين رابطه به شرطي y تابعي از X است كه به ازاي هر مقدار كه به X نيست دهيم فقط و فقط براي y يك مقدار بدست آيد.
به عبارت ديگر اگر :

  مثال : آيا در رابطه هاي زير y تابع X است؟ دليل ان را بيان كنيد.

1) f(x) = √(x2+1)
x1=x2 ---> x12 = x22 --->
x12+1 = x22+1 ---->
f(x1) = f(x2)

2) xy = yx
x = 2 ---> y = 2 , y = 4 ---> y تابع نيست