روش مطالعه گسسته

درس ریاضیات گسسته یکی از سه درس ریاضی سال چهارم است که با 10 الی 14 سؤال در کنکور سراسری، نقش مهمی در تعیین سرنوشت دانش‌آموزان دارد.

(البته با توجه به 2 یا 3 سؤالی که از پایه‌های این درس یعنی جبر و احتمال مطرح می‌شود، معمولاً حدود 13 یا 14 سؤال از این مفاهیم در کنکور وجود دارد .)

محتوای درس:

در این درس، چهار فصل مختلف مورد بررسی قرار گرفته است:

فصل اول: گراف و کاربردهای آن
در این فصل، مطالب زیر مورد بررسی قرار گرفته است:

- معرفی و کاربردها: ابتدا به معرفی و تعاریف بحث گراف پرداخته شده و چند گراف کاربردی مانند گراف مشاغل و گراف بازه‌ها معرفی شده‌اند. در این قسمت باید بتوانید تعداد گراف‌های قابل تولید را در حالات مختلف به دست آورید. همچنین شمارش حالات توزیع مشاغل بین داوطلبان و تشخیص اینکه گرافی، گراف بازه‌ها هست یا نه، از مطالب این قسمت است .

- مفاهیم (مرتبه، اندازه، درجه، مسیر، دور): در قسمت بعدی مفاهیم اصلی گراف و تعاریف مرتبط به بحث گراف مانند مسیر و دور معرفی شده‌اند. نامساوی‌های موجود بین مرتبه و اندازه و ماکزیمم و مینیمم درجات رئوس، رابطه‌ی بین مجموع درجات رئوس با تعداد یال‌ها، شمارش تعداد مسیرها و دورها خصوصاً در گراف کامل از مطالب اصلی این قسمت است. همچنین تعاریف مرتبط به مسیر و دور مانند همبندی، بخش‌های جدا از هم، فاصله، گراف همیلتنی و گراف اویلری از دیگر مطالبی است که اکثراً در قسمت تمرینات کتاب مورد توجه قرار گرفته است.

- درخت: یکی از مهم‌ترین گراف‌ها به علت اینکه مرز دقیق همبندی و ناهمبندی را مشخص می‌کند و معرف گرافی که با حداقل یال‌ها همبند است، درخت است. باید نکات و قضایای مهم درخت که در کتاب و تمرینات مطرح شده (مانند حداقل تعداد رأس‌های درجه یک و رابطه‌ی بین یال‌ها و رئوس) را به خوبی بشناسید.

- گراف و ماتریس: در پایان این فصل برای بیان منظم و تسهیل در معرفی و استفاده از گراف نمایشی ماتریسی از گراف ارائه شده است و انتظار می رود دانش‌آموز پس از سپری کردن این قسمت، تمام مطالبی که در قسمت‌های قبلی آموخته است را بتواند به صورت ماتریسی شبیه‌سازی کند .

فصل دوم : نظریه اعداد

در این فصل، مطالب زیر مورد بررسی قرار گرفته است:

- استقرا و خوش‌ترتیبی: دو اصل استقرای ریاضی و خوش‌ترتیبی و کاربردهای‌شان معرفی شده‌اند.

- تقسیم‌پذیری: در این قسمت به تعریف تقسیم‌پذیری و ویژگی‌های مهم آن پرداخته می‌شود. باید بتوانید تعیین کنید یک چند‌جمله‌ای چه هنگامی بر یک چند‌جمله‌ای دیگر تقسیم‌پذیر است.

- الگوریتم تقسیم: حالت کلی قضیه‌ی تقسیم و کاربردهای آن در پیدا کردن باقیمانده و خارج قسمت تقسیم در این قسمت بررسی شده است. تقسیم با مقسوم و مقسوم‌علیه منفی، یافتن خارج قسمت بدون یافتن باقیمانده، دسته‌بندی اعداد بر اساس باقیمانده‌ی تقسیم‌شان بر یک عدد، از دیگر نکاتی است که به الگوریتم تقسیم مربوط می‌شود.

- نمایش اعداد در مبناهای مختلف: در این قسمت نمایش اعداد در مبناهای مختلف و تبدیل یک عدد در یک مبنا به مبنای دیگر، مورد بررسی قرار می‌گیرد.

- اعداد اول: تعریف و قضایای مربوط به اعداد اول و اعداد مرکب در این قسمت مورد بررسی قرار گرفته است. اعداد اول با این که به ظاهر یک تعریف ساده است، اما مسائل بسیار متنوعی را شامل می‌شوند. برای مثال از اثبات نامتناهی بودن اعداد اول می‌توان تست‌های متنوعی را حل نمود!

- قضیه‌‌‌‌‌‌ی بنیادی حساب و کاربردها: یکتایی تجزیه‌ی اعداد به عوامل اول و مسائلی که با توجه به تجزیه‌ی اعداد به عوامل اول قابل حل‌اند، در این قسمت مطرح شده است. همچنین به دست آوردن توان یک عامل اول در تجزیه‌ی یک عدد به عوامل اول، محور حل تعدادی از سؤالات است.

- ب.م.م و اعداد متباین: از مهم‌ترین مباحث مطروحه در این فصل، تعریف بزرگ‌ترین مقسوم علیه مشترک و اعداد متباین و قضایای مهمی است که به آن ارتباط دارد. وسعت و تنوع مسائلی که در بحث ب.م.م مطرح می‌شود و تعداد سؤالات بسیار زیاد این قسمت در کنکور سراسری شاهدی بر اهمیت فوق العاده‌ی این بحث است. تمام تمرینات کتاب در این قسمت باید موشکافانه مورد بررسی قرار گیرد، چون بسیاری از خواص ب.م.م و مسائلی که در این فصل قابل طرح است، با توجه به تمرینات کتاب قابل حل است.

- ک.م.م: در ادامه‌ی بحث ب.م.م، کتاب به معرفی کوچکترین مضرب مشترک دو عدد می‌پردازد که مانند ب.م.م از اهمیت فوق العاده‌ای برخوردار است. در این دو بحث، خصوصاً یافتن ب.م.م و ک.م.م عبارات جبری و دارای متغیر مورد توجه سؤالات تستی قرار دارد. تقسیم دو متغیر به دو جزء مشترک (ب.م.م) و غیر‌مشترک که نسبت به هم اولند (متباین سازی)، شاه کلید حل بسیاری از سؤالات در این دو قسمت است.

- همنهشتی و کاربردها: شاید پر سؤال‌ترین بحث نظریه‌ی اعداد در کنکور سراسری، همنهشتی است. به علت تنوع کاربردهای همنهشتی، لازم است تمام قضایا و قوانین همنهشتی را به خوبی بشناسید. موضوعات مطروحه در این فصل عبارتست از:

● قوانین همنهشتی و محاسبه‌ی باقی‌مانده‌ی تقسیم اعداد توان‌دار بر پیمانه‌ی دلخواه بدون آنکه لازم باشد خارج قسمت را به دست آورد.

● باقیمانده در تقسیم بر اعداد مهم و پرکاربرد مانند: 2 و 3 و 4 و 5 و 7 و 8 و 9 و10و 11و 13 و 27 و 37 و100

● رقم یکان و دهگان که همان باقیمانده‌ی تقسیم بر10 و100 است.

● اعداد مربع کامل: بسیاری از خواص اعدادی که در تجزیه به عوامل اول توان‌های‌شان زوج است، به وسیله‌ی همنهشتی قابل اثبات است .

● معادله‌ی سیاله و معادله‌ی همنهشتی: آخرین بحث مطرح شده در بحث همنهشتی است که اولاً شرط وجود جواب و ثانیاً به دست آوردن جواب در صورت وجود جواب قابل طرح در سؤالات تستی است.

فصل سوم: مباحثی دیگر از ترکیبات:

این فصل از دو قسمت تشکیل شده است:

الف) مدل‌های شهودی و تجسمی در ترکیبات

ضرب دکارتی و رابطه: ابتدا کتاب به مرور بحث رابطه از کتاب جبر و احتمال می‌پردازد.

گراف جهت‌دار: نوع جدیدی از گراف که برای مدل‌سازی رابطه‌ها به صورت شهودی مطرح شده است، گراف جهت‌دار است.

رابطه‌ها و گراف: در این قسمت سعی بر این است که خواص رابطه (بازتابی، تقارنی، تراگذری و پادتقارنی) از روی گراف جهت‌دار متناظر شبیه‌سازی شود.

رابطه‌ها و ماتریس‌ها: چون گراف‌ها قابل مدل‌سازی با ماتریس‌ها می‌باشند و رابطه‌ها نیز قابل مدل‌سازی با گراف می‌باشند، لذا می‌توان رابطه‌ها را نیز با ماتریس شبیه‌سازی کرد. همچنین تمام خواص رابطه را نیز می‌توان با ماتریس تحقیق کرد و در اینجا قضایایی به دست می‌آید که بیان ماتریسی از خواص رابطه است.

ب) کاربردهای ابزارهای شمارشی و اصل شمول و عدم شمول:

ابتدا لازم است مطالب درس آنالیز ترکیبی از سال‌های قبل را به خوبی به یاد داشته باشید.

کاربردهای آنالیز ترکیبی (یعنی به دست آوردن حالات بدون شمارش آن‌ها) در این قسمت مطرح شده است. این کاربردها عبارتند از:

● به دست آوردن تعداد جواب‌های طبیعی و صحیح و نامنفی معادله‌‌ی سیاله‌ی خطی با n متغیر و مسائلی که به این صورت مدل می‌شوند.

● تعداد توابع قابل تولید، توابع یک به یک، توابع پوشا قابل تعریف از یک مجموعه به مجموعه‌ی دیگر و حالت‌های خاص و مسائلی که به این صورت مدل می‌شوند مانند توزیع اشیاء متمایز یا یکسان در جعبه‌های متمایز یا یکسان.

همچنین اصل شمول و عدم شمول و همه‌ی مسائلی که یافتن متمم‌شان آسان‌تر از محاسبه‌ی خود آن‌هاست، در این قسمت مطرح شده است. تمرینات متن کتاب و انتهای فصل در این فصل آنقدر پر مطلب و پر‌نکته است که راه را برای طرح تست‌های بسیار متنوعی باز می‌کند .

فصل چهارم: احتمال

تعاریف مربوط به تئوری احتمال و شناخت انواع فضاهای نمونه‌ای و شناخت انواع پیشامدها و شمارش تعداد آن‌ها و نهایتاً محاسبه‌ی احتمال برای فضاهای نمونه‌ای متفاوت از مطالب این بخش است. جزئیاتی که در این فصل از کتاب مورد بررسی قرار گرفته است، حتماً باید با مطالب آموخته شده در جبر و احتمال ترکیب شود تا بتواند برای دانش‌آموز مفید واقع شود. در واقع کتاب گسسته، به سرعت مروری اجمالی بر آنچه در جبر و احتمال آموختید، انجام می‌دهد. این جزئیات عبارتند از:

● احتمال در فضای گسسته هم‌شانس ( یا همان احتمال کلاسیک که در سال‌های دوم و سوم نیز آموختید .)

● احتمال در فضای گسسته غیر هم‌شانس

● احتمال در فضای پیوسته

● قوانین احتمال ( قوانین محاسبه‌ی احتمال پیشامدهای ترکیبی مانند اجتماع و اشتراک و تفاضل و متمم و تفاضل متقارن که شباهت بسیاری به مطالب بحث اصل شمول و عدم شمول دارد).

● احتمال شرطی ( محاسبه‌ی احتمال در حالتی که اطلاعاتی داریم که فضای نمونه را محدود می‌کند.)

● قانون ضرب احتمال‌ها و استقلال و وابستگی پیشامدها (محاسبه‌ی احتمال وقوع توأم دو پیشامد در حالتی که نتیجه‌ی دو پیشامد روی هم تأثیر می‌گذارد و در حالتی که تأثیر نمی‌گذارد.)

● قانون احتمال کل و قاعده‌بیز(محاسبه‌ی احتمال وقوع پیشامدی که قبل از پیشامد دیگری رخ داده و ما از نتیجه‌ی رخداد پیشامد اول بی‌اطلاعیم.)

● متغیر تصادفی گسسته (بیانی ریاضی برای نمایش پیشامد‌ها به جای نوشتن پیشامد و معرفی تابعی دارای متغیر برای معرفی احتمال که با قرار دادن هر عدد به جای متغیر‌ها، احتمال مربوط به آن پیشامد به دست بیاید.)

این درس را چگونه بخوانیم؟ ابتدا مانند هر درس دیگری لازم است مطالب اصلی کتاب در هر فصل را به خوبی در کلاس‌های درسی آموخته و مورد حلّاجی قرار دهید.

پس از آموختن شالوده‌ی اصلی درس، جزئیاتی که در تمرینات کتاب مورد توجه قرار گرفته باید حتماً مورد بررسی قرار بگیرد. کتاب، بسیاری از مطالب هر فصل را در قالب تمرینات پایان فصل مطرح نموده است و به دست آوردن خیلی از خواص و روابط را به عهده‌ی دانش‌آموز نهاده است. لذا از تمرینات و جزئیات متن کتاب غافل نشوید! چون به غیر از نظریه‌ی اعداد، اکثر مطالب این درس نزدیکی تنگاتنگی با بحث آنالیز ترکیبی و مسائل شمارش دارد، لذا توصیه‌ی اکید می‌کنم، حتماً بحث آنالیز ترکیبی و کاربردهای آن در شمارش را به خوبی فرا گرفته و از کاربردهای آن در درس گسسته مطلع باشید.

زدن تست:

پس از آموختن مطالب درسی لازم است در هر فصل، دو گروه تست را مورد بررسی قرار دهید. گروه اول تست‌هایی است که به صورت آموزشی و برای آموختن کاربردهای مطالب آموخته شده در تست‌ها بررسی می‌کنید. در واقع در اینجا شما درس را یاد می‌گیرید و می‌فهمید در این فصل چگونه سؤالاتی می‌توان مطرح نمود. فهمیدن بسیاری از کاربردهای قضایا و تمرینات مطرح شده در کتاب به وسیله‌ی حل تمرینات زیاد و بررسی تست‌های متعدد و خوب رفع اشکال کردن تست‌ها امکان‌پذیر است. به یاد داشته باشید، بهترین راه یادگیری عمیق این درس، رفع اشکال دقیق تست‌هاست. توصیه می‌کنم تعداد کمتری تست انتخاب کنید (به صورت منتخب) و برای رفع اشکال آن وقت کافی اختصاص دهید. خوب رفع اشکال کردن تست‌ها و پرهیز از استفاده از روش‌هایی مانند عدد‌گذاری یا حذف گزینه‌ها و یاد گرفتن بهترین راه حل برای حل تست‌ها، مهمترین عامل تسلط بر این درس است.

گروه دوم، تست‌هایی است که برای افزایش تسلط و سرعت و دقت زده می‌شود که ترجیحاً این تست‌ها باید در شرایط آزمون و مخصوصاً با در نظر گرفتن زمان انجام شود. بهتر است بین تست‌های آموزشی و دوره‌ای فاصله بگذارید. مثلاً تست‌های آموزشی را پس از تدریس معلمین و تست‌های تمرینی را قبل از کنکورهای آموزشی به عنوان دوره و جمع بندی بزنید. تست‌های کنکورهای پیشین به عنوان یک منبع کاملاً استاندارد می‌تواند شما را یاری کند، لذا حتماً از بررسی تست‌های کنکورهای سال‌های قبل غافل نشوید. شرکت در کنکور آزمایشی به عنوان یک خودآزمایی استاندارد، پایان بخش مرحله‌ی یادگیری شماست. از این پس با دوره‌هایی که در کنکورهای آزمایشی بعدی و در عید نوروز و بعد از عید انجام می‌دهید، سبب تثبیت مطالب این درس در ذهن خود شوید.

مفهومی شدن سؤالات:

باید توجه کرد که سال‌هاست سؤالات کنکور از قالب کلیشه‌ای خارج شده و زوایای پنهان کتاب‌ها که کمتر مورد دقت دانش‌آموزان قرار گرفته یا تست‌های ترکیبی که حاصل ترکیب چند نکته با هم است، بیشتر مورد سؤال قرار می‌گیرد. مثلاً در کنکور 89، سؤالی به صورت ترکیبی از اصل لانه کبوتر و ب.م.م مطرح شد که باعث به چالش کشیدن دانش‌آموزان عزیز شد.

توزیع سؤالات درس در کنکور سراسری در 12 سال گذشته:

در پایان توجه شما را به توزیع سؤالات کنکور در 12 سال گذشته جلب می‌کنم:

78	79	80	81	82	83	84	85	86	87	88	89	عنوان
1	2	2	1	2	1	2	1	2	1	2	2	گراف
4	7	4	4	3	3	4	3	1	4	2	4	نظریه اعداد
1	2	1	0	1	1	2	4	1	3	1	1	ضرب دکارتی و رابطه، رابطه و گراف
2	0	1	0	2	1	0	0	0	2	1	1	آنالیز ترکیبی و کاربرد آنالیز
3	3	4	4	2	4	6	5	4	4	4	4	احتمال

روش مطالعه گسسته

مطالب مشابه :

دانلود رایگان نظریه گراف و کاربردهای آن

نمونه سوالات درس « نظریه گراف و کاربردهای آن »+همراه پاسخنامه

نمونه سوال نظریه گراف و کاربردهای آن پیام نور کلیه گرایش ها 91-90

نظریه گراف

نمونه سوال نظريه گراف و كاربردهاي آن

تاریخچه نظریه گرافها

کاربرد نظریه گراف

بارم بندی جدید ریاضیات گسسته چهارم ریاضی

روش مطالعه گسسته

لیست جدید ارائه دروس مهندسی فناوری اطلاعات(طرح تجمیع)