دنباله و همگرایی

حال مجموعه اعداد طبیعی را در نظر بگیرید: 31d330da8de11982d09e1073bfd019b1.png با کمی دقت متوجه می‌شویم که می‌توان یک تابع یک به یک از مجموعه اعداد طبیعی به مجموعه اعداد طبیعی زوج تعریف نمود که در عضو از مجموعه اعداد طبیعی را به یک عضو از مجموعه اعداد طبیعی زوج متناظر کند.(مانند شکل)
img/daneshnameh_up/3/35/sequence.jpg
اگر این تناظر را به صورت مجموعه زوج های مرتب بنویسیم خواهیم داشت: b2de0892015a251b879d1597b3d41445.png متوجه می‌شویم تابع f از مجموعه اعداد طبیعی به مجموعه اعداد طبیعی زوج، تابعی است یک به یک که هر عضو از دامنه خود را دو برابر می‌کند و به یک عضو از مجموعه اعداد طبیعی زوج متناظر می‌کند و می‌توان چنین ضابطه‌ای برای آن تعیین نمود: 819011c8fd37c2fc9f54f33730f139b5.png
حال در مثالی دیگر تابع 26ef402c381ba71bffd3cf2228dc69bc.png را در نظر بگیرید. بیاید بجای اینکه به جای متغیر تابع عددی حقیقی قرار دهیم، متغیرهای طبیعی را جایگزین کنیم. در این صورت داریم:
499f6df61ab51761c0db9a0f5a4b9977.png
مشاهده می‌کنید این تابع نیز هر عدد طبیعی را به عنوان ورودی دریافت می‌کند و آن را به یک عدد دیگر نسبت می‌دهد با این تفاوت که این تابع دیگر یک به یک نمی‌باشد و فقط بین اعداد طبیعی و مجموعه اعداد حقیقی یک تناظر بوجود می‌آورد.
نمونه های دیگری نیز از این توابع وجود دارد مثلاً توابع f2737d477bab7c19ff476ef321d0fd85.png، 51a7ea7b38ec03faddd77c8fc2f2f5d1.png، که در آنها n عددی طبیعی است.
به چنین توابعی که از از مجموعه
اعداد طبیعی به یک مجموعه دیگر تعریف می‌شوند دنباله می‌گوییم. در دنباله اعداد طبیعی زوج، عدد 2 از برد تابع را جمله اول، عدد 4 را جمله دوم و به همین ترتیب عدد 2n را جمله n ام دنباله می‌گوییم. همین شیوه برای سایر دنباله‌ها نیز اعمال می‌شود.
در یک دنباله، اعداد طبیعی در دامنه به گونه‌ای به اعضای برد متناظر می‌شوند که عدد طبیعی متناظر شده بیانگر شماره آن جمله در برد باشد به عنوان مثال در دنباله اعداد طبیعی زوج، عدد 1 در دامنه به عدد 2 در برد که اولین جمله دنباله است متناظر می‌شود و عدد 10 از دامنه به عدد 20 از برد که جمله دهم است متناظر می‌شود و به همین ترتیب عدد n‌ در دامنه به عدد 2n از برد که جمله n ام است متناظر می شود.

تعریف دنباله


دنباله (sequence) تابعی است که دامنه آن مجموعه اعداد طبیعی یا قطعه ای از مجموعه اعداد طبیعی باشد. پس در حالت کلی یک دنباله چون f تابعی است از مجموعه اعداد طبیعی به یک مجموعه دیگر چون A.
b47761fa6a34b263876bddae50ebb4aa.png
اگر دامنه دنباله قطعه ای از مجموعه اعداد طبیعی باشد دنباله را متناهی می‌گوییم و اگر دامنه دنباله خود مجموعه اعداد طبیعی باشد دنباله را نامتناهی می‌گوییم. به عنوان مثال دنباله اعداد طبیعی زوج کوچکتر از 10 یک دنباله متناهی است چرا که دامنه آن قطعه ای از مجموعه اعداد طبیعی یعنی fa7ddbc3f7956fe3e2542c0ef5c06a1e.png است و دنباله اعداد زوج دنباله‌ای نامتناهی است چرا که دامنه آن خود مجموعه اعداد طبیعی است.

برای مشخص کردن یک دنباله مانند هر تابع دیگر باشد دامنه و ضابطه آن را مشخص کرد. ضابطه یک دنباله را در اصطلاح جمله عمومی آن دنباله می‌گوییم. اگر f یک دنباله باشد جمله عمومی آن را با (f(n و یا به صورتی معمول‌تر به صورت b498c4173022da43017937d2db5d83df.png نشان می‌دهیم. پس برای نمایش مقدار دنباله f به ازای عدد طبیعی n بجای نماد (f(n معمولا از نماد b498c4173022da43017937d2db5d83df.png استفاده می‌کنیم. به عنوان مثال در دنباله اعداد طبیعی زوج داریم: d1bddb5c9d6d69a3fff84c5da32200c6.png
برای نمایش خود دنباله از نماد 64e99a560333980829f659f0daf84611.pngاستفاده می‌کنیم. پس دنباله اعداد طبیعی زوج را به این صورت نشان می دهیم:
436e518ebecdc6865b7dffac65b6fb3d.png

دنباله حقیقی


دنباله 64e99a560333980829f659f0daf84611.pngرا دنباله حقیقی می‌گویند هرگاه تابعی از مجموعه اعداد طبیعی به مجموعه اعداد حقیقی باشد به عبارت دیگر تابعb39ebe412b55f4dcb3eff473c4f7f9c2.pngرا یک دنباله حقیقی می‌گویند.
به عنوان مثال دنباله17717e6b5891887842fdb6bfc63786fe.pngدنباله‌ای حقیقی است چرا که برد آن از مجموعه اعداد حقیقی است.
لازم به توضیح است معمولاً منظور از دنباله، دنباله حقیقی است.

نمودار یک دنباله


از آنجا که دنباله یک تابع با دامنه عداد طبیعی است می‌توان دنباله را بوسیله نمودار نیز نمایش داد. این نمایش با دو روش انجام می‌شود. در یک روش می‌توان مانند توابع دیگر آن را در دستگاه مختصات دکارتی رسم کرد و در روشی دیگر می‌توان جملات آن را به همراه ذکر شماره آن جمله روی محور اعداد نشان داد. با ذکر یک مثال دو روش را توضیح می‌دهیم. به عنوان مثال می‌خواهیم دنباله اعداد زوج را به هر دو روش نشان دهیم:
  • بوسیله رسم نمودار در دستگاه مختصات دکارتی: برای این منظور محور افقی را برای متغیر انتخاب کرده و محور عمودی را برای نمایش تغییرات جملات دنباله استفاده می‌کنیم. نمودار این دنباله به این صورت خواهد بود:
تصویر
  • بوسیله رسم نمودار روی محور اعداد: برای این منظور روی محور اعداد مقدار جملات دنباله را یافته و شماره جمله را در بالا آن می‌نویسیم مانند این نمودار:
تصویر

جمله عمومی یک دنباله


همانطور که گفته شد یک دنباله تابعی با دامنه مجموعه اعداد طبیعی است پس برای دنباله ها در حالت کلی می‌توان ضابطه تعیین کرد که به ضابطه یک دنباله جمله عمومی آن دنباله می‌گویند. جمله عمومی یک دنباله به منزله یک قانون است که بوسیله آن هر عضو از دامنه(مجموعه اعداد طبیعی) به یک عضو از مجموعه برد متناظر می‌شود و به ازای هر مقدار از متغیر n، جملات دنباله را تولید می‌کند.
به عنوان مثال جمله عمومی دنباله اعداد طبیعی زوج به صورت 25e524ab3152036f31b8c48f2698e64f.png است که همانند
ضابطه تابع بوسیله آن می‌توان با قرار دادن هر n طبیعی جمله n ام 6eade6a50cd6559be5fa823186f00fbb.png را بدست آورد.
البته لازم به ذکر است همه دنباله‌ها دارای جمله عمومی نمی‌باشند. به عنوان مثال تا کنون جمله عمومی برای دنباله اعداد اول تعیین نشده است. همچنین ممکن است یک سری از اعداد را به عنوان جملات دنباله انتخاب نمود که نتوان میان آنها رابطه ای برقرار نمود و جمله عمومی برای آنها نوشت.
حال ممکن است این سوال پیش بیاید که آیا با در اختیار داشتن جملات یک دنباله می توان جمله عمومی آن را تعیین کرد؟
پاسخ را با یک مثال بررسی می‌کنیم. دنباله زیر را در نظر بگیرید:
af26a28615f6458e91af8be14a47a05e.png
می‌خواهیم جمله عمومی این دنباله را با توجه به جملاتش تعیین کنیم.
با مشاهده‌ی جملات ممکن است حدس شما این باشد که این دنباله، دنباله اعداد طبیعی فرد بزرگتر از یک است و جمله عمومی آن را می‌توان به این صورت نوشت:
3f6142462c926e50edb998c8970e5a65.png
اما این ممکن است یک جمله عمومی برای این دنباله باشد. ممکن است جملات دنباله در ادامه به این روال پیش نروند
و جمله چهارم این دنباله عددی چون 9 نباشد! چرا که ما از جمله سوم به بعد دنباله هیچ اطلاعی نداریم و هر عدد دیگری نیز می‌تواند باشد!
به عنوان مثال جمله عمومی دنباله فوق را می‌توان به این صورت نوشت:
f70f32e2a790ac45301ddb26e54fce98.png
با نوشتن جملات این دنباله داریم:
9b2363c3baf4c5e5d5036fb46c735086.png
مشاهده می‌کنید جملات این دنباله تا جمله سوم همانند دنباله e302fccf8d0113c8699d7d6ef59f957e.png است ولی از جمله سوم به بعد مانند آن دنباله عمل نمی کند.
پس همواره از روی جملات یک دنباله نمی‌توان جمله عمومی آن را به درستی تعیین کرد. اما معمولاً برای نوشتن جمله عمومی یک دنباله با توجه به جملات آن، ساده ترین حالت را در نظر می‌گیریم. لذا جمله عمومی 3f6142462c926e50edb998c8970e5a65.png برای این دنباله صحیح‌تر است و زودتر به ذهن خطور می‌کند.

رابطه بازگشتی و دنباله بازگشتی


به دنباله اعداد زوج دقت کنید: ...,2,4,6,8,10,12
با کمی دقت در می‌یابید که برای بدست آوردن هر جمله کافی است جمله قبل را با عدد دو جمع کنید. به عنوان مثال برای بدست آوردن جمله پنجم(10) کافی است جمله چهارم(8) را با عدد دو جمع کنید. به این رابطه که بین جملات این دنباله برقرار است رابطه بازگشتی می گوییم.
  • تعریف: در بسیاری از دنباله‌ها بین هر جمله و جملات ماقبل یک رابطه‌ای وجود دارد که بوسیله آن می‌توان جملات بعدی را تعیین نمود. به چنین رابطه‌ای، رابطه بازگشتی می‌گوییم و به دنباله‌هایی با این رابطه، دنباله بازگشتی می‌گوییم.
از معروف ترین این دنباله ها می توان به دنباله فیبوناتچی و دنباله لوکا اشاره کرد.
به عنوان مثال دنباله فیبوناتچی دارای چنین رابطه‌ای است که بوسیله آن مشخص می‌شود:
6d7da2b5a382a1a9ba5cfbe2b5ea1336.png
که جملات آن به این صورت است: ...,1,1,2,3,5,8,13,21
مشاهده می‌شود برای بدست آوردن هر جمله از جمله دوم به بعد کافی است دو جمله ماقبل آن جمله را با هم جمع کنیم. مثلا برای محاسبه جمله نهم داریم:
74a84cec7474803dbdab0d37bddbf6d1.png
از آنجا که دنباله نیز تابع می‌باشد می‌توان حد آن را نیز بررسی کرد. در ادامه مطلب می توانید اطلاعاتی در مورد همگرایی دنباله ها را مطالعه کنید.


مفهوم شهودی حد دنباله


دنباله 005cc6aa9f5c2bce337a698189919b3f.png را درنظر بگیرید. چند جمله اول این دنباله به این صورت است:
3be44a1929924c8d729cbd38aea50208.png
ملاحضه می‌کنید جملات این دنباله رفته رفته به عدد یک نزدیک می‌شوند. کار را ادامه بدهید و جملات را افزایش بدهید:
5d5f6b12181958c9217e9119435fa294.png
47b8b769b500db8244f7d343f5a5d221.png
8cda996186f6713d4e45a59db4c45721.png
683a3c357e664a3791d5bea32c40f3a1.png
8cda996186f6713d4e45a59db4c45721.png
2561dbb213185db85968a626d9f5a4fd.png
8cda996186f6713d4e45a59db4c45721.png
15ea417ee8fcf4d04921771112e1afc5.png
خوب تا اینجا به صورت شهودی، متوجه می‌شویم که هر چه بیشتر جلو می‌رویم و تعداد جملات (n) را افزایش می‌دهیم مقدار دنباله به عدد 1 نزدیک و نزدیک‌تر می‌شود (لااقل تا الان که این‌طور بوده است!). حال ممکن است این سوال پیش بیاید که آیا می‌توانیم حکمی کلی صادر کنیم و بگویم به طور کلی هرچه تعداد جملات را افزایش بدهیم جملات دنباله به عدد 1 نزدیک و نزدیک‌تر می‌شوند یا به عبارت دیگر می‌توان جملات دنباله را به هر مقدار دلخواه به عدد 1 نزدیک کرد به شرط اینکه مقدار n به قدر کافی بزرگ باشد؟

مثلا اگر ما n را برابر 1000000 قرار دهیم مقدار دنباله 1b54e28e165d214afc38618e80590d5d.png بدست می‌آید و اگر n را 1000000000000 انتخاب کنیم مقدار دنباله برابر خواهد بود با عدد 7108827e05f95e372a8d3cbda9ac056a.png که مقداری بسیار نزدیک به 1 است. آیا می‌توان با اطمینان گفت با انتخاب n مناسب می‌توان بیشتر و بیشتر به 1 نزدیک شد و تقریب‌های نزدیک‌تر به عدد 1 بدست آورد؟

خوب پس در اینجا با یک حدس روبرو هستیم که باید آن را ثابت یا رد کنیم، و آن این است که دنباله 076b291b8a58d7ebca519475b2350db6.png را به هر میزان می‌توان به 1 نزدیک کرد به شرط اینکه n به قدر کافی بزرگ انتخاب شده باشد. بیاید با هم سعی در اثبات این حدس کنیم.

اولین قدم برای اثبات این است که سعی کنیم مسئله را به زبان ریاضی (صوری) بنویسیم که بتوانیم آن را از نظر ریاضی بهتر بررسی کنیم. در واقع بیان ریاضی حدس ما این است که اگر ما هر همسایگی دلخواه از عدد 1 را در نظر بگیریم مانند a037a4afb4cdc8fbdf3cd12d7197fedf.png (که اپسیلون عددی حقیقی مثبت و لخواه است)، بالاخره به‌ازای یک N ای جملات دنباله 076b291b8a58d7ebca519475b2350db6.png از این به بعد (از این N به بعد) در این همسایگی قرار می‌گیرند یعنی بالاخره برای هر 052054b92737c7e2449c8e326c346f70.png یک N ای از اعداد طبیعی وجود دارد که برای n>N داریم:
19b9fd3eadb843c0984ba74e79d367d8.png
به عنوان مثال اگر همسایگی 1d16ed3867496be28fe663bbd6139568.pngرا انتخاب کنیم (یعنی اپسیلون را 0.01 بگیریم) برای n>1000 خواهیم داشت: 25ae94d3d9454fd3c64af3ae7527efbe.png یعنی از جمله 1000ام به بعد همه جملات دنباله در این همسایگی قرار می‌گیرند. زیرا ، n>1000 و لذا داریم 2680cf32b5726dafc257a4e538e66f3f.png و در نتیجه:
b3937f87407ec7f0aa606b53a327201c.png
پس در اینجا N مورد نظر N=1000 است که از این جمله به بعد جملات دنباله در همسایگی مورد نظر قرار می‌گیرند. پس حالا متوجه شدیم که برای اثبات حکم باید چکار کنیم. هدف ما این است که تحقیق کنیم آیا این N همواره برای هر همسایگی دلخواه (یا به عبارتی برای هر اپسیلون) وجود دارد یا نه؟

لذا با یک قضیه وجودی روبرو هستیم یعنی برای اثبات این قضیه کافی است برای هر همسایگی دلخواه از 1 مانند a037a4afb4cdc8fbdf3cd12d7197fedf.png (که اپسیلون عددی حقیقی و مثبت است) یک N از اعداد طبیعی را معرفی کنیم که برای n>N داشته باشیم:
19b9fd3eadb843c0984ba74e79d367d8.png
پس فرض می‌کنیم 052054b92737c7e2449c8e326c346f70.png عددی حقیقی مثبت دلخواهی باشد (با این فرض در حقیقت یک همسایگی دلخواه از 1 را انتخاب کردیم)، سعی می‌کنیم برای این اپسیلون یک N ای از اعداد طبیعی پیدا کنیم که n>N نامساوی 19b9fd3eadb843c0984ba74e79d367d8.pngرا ایجاب کند. خوب از اینجا به بعد باید به دنبال یک N بگردیم و یافتن N به ابتکار شما و مهارت‌های ریاضی شما بستگی دارد. ببینیم می‌توانیم با ایجاد تغییراتی در حکم، ایده‌ای برای معرفی N مناسب بگیریم یا نه؟ ما می‌خواهیم N مناسب طوری باشد که n>N ایجاب کند 19b9fd3eadb843c0984ba74e79d367d8.png ازاینجا داریم:
300e2d5a64f56bd3f80dffb141440990.png
63e9ce4de63db6027b0b7454d3b57519.png
0b08f1abaa9a8296b20125ac8bbec8c2.png
خوب با توجه به اینکه روابط فوق برگشت پذیر است متوجه می‌شویم که با استفاده هر عدد طبیعی بزرگتر از62e8a95055756d1c7476d81237d1b629.pngمی‌توان نامساوی 19b9fd3eadb843c0984ba74e79d367d8.pngرا نتیجه گرفت، یعنی b265353e52f433759af9093d671091af.png ایجاب می‌کند 19b9fd3eadb843c0984ba74e79d367d8.png پس اگر ما یکی از اعداد طبیعی بزرگتر از 62e8a95055756d1c7476d81237d1b629.png را به عنوان N مناسب معرفی کنیم حکم ثابت می‌شود. اما چه N ای؟
بیاید قرار دهیم c061ed11c7ecb46e9a9eb6e837ed37d1.png که نماد 29711a044e583760c0d8b10cce9c6986.png نماد جزء صحیح است. بوضوح N ای که معرفی کردیم عدی طبیعی است و همچنین بنابر خواص جز صحیح عددی بزرگتر از 62e8a95055756d1c7476d81237d1b629.png است. پس یک N را پیدا کردیم و ادعا می‌کنیم این N همان N مناسبی است که n>N نامساوی 135758edb3fb396773db244acaa03212.pngرا ایجاب می‌کند زیرا:
9fbb4de02b37e06f409685ecbb1d90e6.png
4765834f5525a685e80b7489a4e1d7f8.png
82c15421d6b9639f321cf592e1b7c0f6.png
پس چون اپسیلون دلخواه بود N معرفی شده برای هر اپسیلون مناسب است. یعنی برای هر همسایگی دلخواهی از 1 که انتخاب کنیم مانند a037a4afb4cdc8fbdf3cd12d7197fedf.png کافی است N را برابر eb43ff0d96d1dcdc38648888eb046941.png بگیریم که در این صورت جملات دنباله از این N به بعد همگی در همسایگی مورد نظر ما قرار می‌گیرند. و به این ترتیب درستی حدس ما معلوم می‌شود. در دنباله 076b291b8a58d7ebca519475b2350db6.png می‌توانیم جملات دنباله را به اندازه دلخواه به 1 نزدیک کنیم به شرط اینکه n را به اندازه کافی بزرگ اختیار کنیم. به بیان دیگر با افزایش n جملات دنباله به 1 نزدیک و نزدیک‌تر می‌شوند.
  • در این حالت می‌گوییم حد دنباله 076b291b8a58d7ebca519475b2350db6.png برابر است با 1و یا به صورتی رایج‌تر می‌گوییم دنباله به عدد 1 همگرا است و می‌نویسیم وقتی c6349512f775ab26646cfd1ea7c2a4bc.png ، آنگاه d4ca39061c763685b72d8cec4f2f8416.png و یا به طور ساده‌تر 6ea25f2be191d4263d851b5c84f500bb.png.
حال که مفهوم حد یک دنباله را متوجه شدید کمی دقیق‌تر می‌شویم و سعی می‌کنیم تعریفی صوری از تعریف حد ارائه دهیم که به کمک آن بتوانیم قضایای حد را توجیه و اثبات کنیم.

تعریف حد یک دنباله


دنباله 076b291b8a58d7ebca519475b2350db6.pngرا دارای حد یا همگرا می‌گوییم هرگاه عددی حقیقی چون L موجود باشد به طوری که برای هر عدد حقیقی مثبت چون a085739fc1b55ba6f48e88d1fded4578.png، عددی طبیعی چون 7c3bdadd95920f8ae5482bcb184b16f0.png موجود باشد که برای هر n>N داشته باشیم:
5842b0913c3d3980a37c593fa993b828.png
به عبارت دیگر می‌گوییم دنباله 076b291b8a58d7ebca519475b2350db6.pngدارای حد L است یا به L همگرا است هرگاه:
81aad2d91c07638a80eedbe1090565dc.png
در این حالت می‌گوییم دنباله 076b291b8a58d7ebca519475b2350db6.png به L همگرا است و می‌نویسیم وقتی c6349512f775ab26646cfd1ea7c2a4bc.png آنگاه 9b2ad095d2fab7d414bc4d997580d7b5.png یا d4276e5e49eed3036cf8dd5712d96f9d.png. به بیان ساده‌تر و کمی دورتر از عبارات صوری ریاضی، L حد دنباله 076b291b8a58d7ebca519475b2350db6.png است اگر برای هر همسایگی دلخواه از L، جملات دنباله از شماره‌ای به بعد (از یک N ای به بعد) در این همسایگی دلخواه قرار بگیرند یا اینکه جملات دنباله را بتوان به قدر کافی به L نزدیک کرد به شرط اینکه n به قدر کافی بزرگ باشد.

همچنین می‌گوییم دنباله 076b291b8a58d7ebca519475b2350db6.png حد نامتناهی یا بینهایت دارد هرگاه:
62904c8491b98c81b287b066fd48a420.png
به عبارت دیگر دنباله 076b291b8a58d7ebca519475b2350db6.pngحد نامتناهی یا بینهایت دارد هرگاه از یک شماره‌ای چون N به بعد جملات دنباله از هرعدد حقیقی مثبت بزرگتر یا از هر عدد حقیقی منفی کوچکتر بشوند یعنی به طور بی کران بزرگ یا کوچک شوند. در این حالت می‌نویسیم:
968273f2f4c60d2d736dce54a367ae52.png
  • دنباله 076b291b8a58d7ebca519475b2350db6.pngرا یک بینهایت کوچک می‌گوییم هرگاه 56e5ef62adfad6a398df56786bcb02b8.png و یک بینهایت بزرگ می‌گوییم هرگاه 4e404c0febcf39a52b47722be7b521ba.png
با استفاده از تعریف فوق می‌توانیم به اثبات قضایای حدود بپردازیم. روش اثبات همان روشی است که در قسمت قبلی از آن استفاده کردیم. حال به عنوان تمرین می‌خواهیم با استفاده از تعریف حد دنباله‌ها ثابت کنیم:
3e9743e358e1c51b9046f62f4bea48df.png
ابتدا حکم را مشخص می‌کنیم. می‌خواهیم نشان دهیم:
f89b96ff63bd1dfc02d6dcfa14f8b47f.png
کافی است m مناسب را برای هر a085739fc1b55ba6f48e88d1fded4578.png معرفی کنیم. بیاید مانند مثالی که قبلا بررسی کردیم سعی کنیم از حکم m مناسب را استخراج کنیم. با فرض 052054b92737c7e2449c8e326c346f70.png دلخواه و از این پس ثابت، m مطلوب ما m ای است که برای هر n>m داشته باشیم 3ba54483f2d7e89c40e68b4e5a171f3a.png از اینجا داریم:
77cd227255f28f12f99cfdbd4ba04a8a.png
ac9e90928871b9fea8c60623b8c22b7f.png
9cf9568562cbd0a4b82a39b72eab6b52.png
اما نامساوی فوق برای هر 052054b92737c7e2449c8e326c346f70.png برقرار نمی‌باشد (به عنوان مثال برای اپسیلون برابر با 3) پس m ای که ما از این طریق بدست می‌آوریم برای ما مناسب نمی‌باشد پس با کمی در روش خود تجدید نظر کنیم. برای این کار سعی می‌کنیم به نوعی نامساوی را تغییر دهیم. داریم:
c96331f7f0fe61c1f266d498487e12b1.png
حال اگر m مناسب را از نامساوی جدید پیدا کنیم قطعاً برای نامساوی اصلی نیز مناسب خواهد بود (در واقع دلیل این مسئله این است که چیزی که برای ما مهم است نتیجه حاصل از برگشت این روابط است). با استفاده از نامساوی جدید داریم:
f4c571ee92d742354286dc6cf1f96faf.png
حال کافی است m را عددی طبیعی بزرگتر از bbe1da3b9aa0bd2f858d039ed731eb13.png اختیار کنیم مثلاً b9d22c9a43d8a6f522bed9c3811bf02b.png حال ادعا می‌کنیم این همان m ای است که برای هر n>m داریم:
787e673fcf66a45e2585d4de5a46d460.png
زیرا:
21e25b3c2720cc8fd32d28ec28079b1e.png
7e229f30a810fbdb9e377bdd4899c882.png
89b0dcaef045485cd272a8f1206567b6.png
cf7e4a44c0056060a23acc9db0c06d6f.png
حال در قسمت بعدی به بررسی قضایای حد دنباله‌های و نحوی محاسبه حدود دنباله‌ها می‌پردازیم.