بسط و سری

بسط تیلور

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد

sinx و بسط تیلور آن، تا توانهای 1, 3, 5, 7, 9, 11 و 13.

به وسیلهٔ بسط تیلور، می‌توان توابع بی‌نهایت بار مشتق‌پذیر را به صورت توابع توانی نوشت، و یا به عبارتی، بسط داد.

تعریف: اگر f در همسایگی x0 و بی‌نهایت بار مشتق‌پذیر باشد،آنگاه f را می‌توان به صورت توان‌هایی از (x − x0) نوشت.

که در اینجا، fn(x) مشتق n-اُم تابع f است. این بسط به نام ریاضیدان انگلیسی بروک تیلور اسم‌گذاری شده است. متاسفانه، این بسط برای همهٔ توابع حقیقی انجام‌پذیر نیست.

مثال:

f(x) = e2x

در همسایگی 1- بی‌نهایت بار مشتق‌پذیر است.

می‌توان گفت:

همچنین، از بسط تیلور می‌توان برای حل از روش سری‌های توانی استفاده کرد .

حالت خاص سری تیلور که در حول نقطه 0 می‌باشد را سری مکلورن می‌گویند.

تابع تحلیلی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد

پرش به: ناوبری, جستجو

در ریاضیات یک تابع تحلیلی، تابعی است که به طور محلی به وسیله یک سری توانی همگرا مشخص می شود. می توان به توایع تحلیلی مانند یک پل بین چند جمله ایها و توابع در حالت کلی فکر کرد. اینجا توابع تحلیلی حقیقی و توابع تحلیلی مختلط وجود دارند، که شباهتها و تفاوتهایی دارند. یک تابع تحلیلی است اگر برابر با سری تیلورش در یک همسایگی باشد.

تعاریف

تابع f رو مجموعهٔ باز D در خط حقیقی، تحلیلی حقیقی است اگر برای هر x0 در D بتوان نوشت:

در این فرمول ضرایب a0, a1, ... اعداد حقیقی هستند و سری برای x در یک همسایگی از x0 همگرا است. به صورت دیگر، یک تابع تحلیلی یک تابع بینهایت بار مشتق پذیراست به این صورت که سری تیلور در هر نقطه x0 در دامنه اش

برای x به اندازه کافی نزدیک به x0 همگراست و مقدارش برابر با f(x) است. تعریف یک تابع تحلیلی مختلط با جایگزین کردن «مختلط» به جای «حقیقی» و «صفحهٔ مختلط» به جای «خط حقیقی» در مطالب بالا بدست می آید.

مثال ها

هر چند جمله‌ای (حقیقی یا مختلط) یک تایع تحلیلی است. به این دلیل که اگر یک چند جمله ای از درجه n باشد، هر جمله ازدرجه بزرگ‌تر از n در بسط سری تیلورش صفر است، وبنا براین، این سری به طور جزئی همگرا خواهد بود.
تابع نمایی تحلیلی است. هر سری تیلور برای این تابع نه فقط برای x به اندازه کافی نزدیک به x0 (همان طور که در تعریف آمده) بلکه برای همه مقدار x (حقیقی یا مختلط) همگرا می شود.
توابع مثلثاتی، لگاریتم و توابع توانی روی هر بازهٔ باز در دامنهٔشان تحلیلی اند.
تابع قدر مطلق تحلیلی نیست زیرا مشتق پذیر نیست. توابع تعریف شدهٔ تکه ای(تابعهای معلوم به وسیله فرمولهای مختلف در مناطق مختلف) تحلیلی نیستند.

خصوصیات توابع تحلیلی

مجموع ها، ضرب ها و ترکیبات توابع تحلیلی، تحلیلی اند.
معکوس یک تابع تحلیلی که هیچ کجا صفر نیست، تحلیلی است.
هر تابع تحلیلی هموار است.

یک چند جمله ای نمی‌تواند در تعداد زیادی نقطه صفر باشد مگر اینکه چند جمله ای صفر باشد (به طور دقیق تر، تعداد صفرها حداکثر می تواند به اندازهٔ درجهٔ چندجمله ای باشد). حکمی مشابه ولی ضعیفتر برای توابع تحلیلی وجود دارد. اگر مجموعهٔ صفرهای تابع تحلیلی f یک نقطهٔ انباشتگی در دامنه اش داشته باشد، آنگاه f در تمام مؤلفهٔ همبندی که شامل نقطهٔ انباشتگیست صفر است.

برگرفته از «

سری فوریه

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد

پرش به: ناوبری, جستجو

تبدیلفوریه

تبدیل پیوسته فوریه

سری فوریه

تبدیل گسسته فوریه

تبدیل گسسته زمانی فوریه

تبدیل‌های مرتبط

سری فوریه، روشی در ریاضیات می‌باشد که به وسیله آن، هر تابع متناوبی به صورت جمعی از توابع سینوس و کسینوس می‌تواند نوشته شود. نام این قضیه به اسم ریاضیدان فرانسوی، ژوزف فوریه ثبت شده است.

اگر یک تابع متناوب با تناوب T باشد (یا به عبارتی: f(t + T) = f(t)) آنگاه، این تابع به صورت زیر می‌تواند نوشته شود:

در اینجا داریم:

هارمونیک nام سری فوریه (به رادیان)
ضرایب فرد فوریه
ضرایب زوج فوریه

سری فوریه می‌تواند به صورت زیر نیز نوشته شود:

و در اینجا:

جستار وابسته

تبدیل فوریه در صورتی زوج را بخواهد از cos استفاده کرده یعنی فقط a0 و an را محاسبه می کنیم در صورتی فرد را بخواهد از sin استفاده کرده یعنی فقط bn را محاسبه می کنیم به زوج و فرد نیم حوضه نیز گفته می شود

تابع هوی‌ساید

مقالهٔ اصلی: تابع هوی‌ساید

تابع پله‌ای هوی‌ساید به صورت زیر تعریف می شود:

0 \end{cases} " type="#_x0000_t75" o:spid="_x0000_i1037">

ماتریس ژاکوبی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد

پرش به: ناوبری, جستجو

ماتریس ژاکوبی، نامیده شده به اسم ریاضیدان آلمانی: کارل گوستاو ژاکوب ژاکوبی، ماتریسی است که در آن تمام مشتق‌های جزئی یک تابع چند بعدی موجود می‌باشد. این ماتریس تعمیم یافته‌ای از مشتق یک بعدی است، که ما با آن از طریق ریاضیات مدرسه‌ای آشنا هستیم.

تعریف

اگر یک تابع مشتق‌پذیر چند بعدی باشد که مقادیر آن باشند، آنگاه مشتق آن در هر نقطه ، یک نگاشت خطی از فضای به می‌باشد، به طوری که ماتریس این نگاشت خطی به صورت زیر نوشته می‌شود.

کاربردها

از مهم‌ترین استفاده‌های این ماتریس، دترمینان آن است (در صورتی که مسلما مربعی باشد) که در محاسبه انتگرال‌های چند بعدی، مورد استفاده قرار می‌گیرد. به این روش، روش تغییر متغیر در محاسبه انتگرال‌ها گفته می‌شود، که با آن نیز در فضای یک بعدی از مدرسه آشنایی داریم.

پیوستگی توپولوژیک

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد

پرش به: ناوبری, جستجو

مفهوم فوق در نمایش هندسی

فرض می‌‌کنیم (X,T) و (Y,U) دو فضای توپولوژیک دلخواه باشند:

تابع در نقطهٔ x واقع در X را پیوسته گوییم، هرگاه به ازای هر مجموعهٔ باز شامل f(x) مانند BY، مجموعهٔ بازی مانند BX شامل x وجود داشته باشد به طوری که f[BX] زیر مجموعهٔ BY باشد.

به همین ترتیب می‌‌گوییم تابع در مجموعهٔ A واقع در X پیوسته است رد صورتی که در تمام نقاط A پیوسته باشد.

قضیه : تابع در X پیوسته است اگر و تنها اگر به ازای هر زیر مجموعه باز در Y مانند BY، مجموعه یf[BY] − 1 زیر مجموعهٔ باز X باشد.

به طور خلاصه : فرض کنید X و Y دو فضای توپولوژیکی هستند. یک تابع بین X و Y را پیوسته می‌گوییم اگر x، تصویر معکوس مجموعه باز y در Y، یک مجموعهٔ باز در X باشد. در واقع نشان می‌‌دهیم که هیچ شکستگی یا انفصال در تابع وجود ندارد.

بسط و سری

تابع هوی‌ساید

مطالب مشابه :

بسط و سری

بسط تیلور

بسط تیلور سینوس و کسینوس

سری فوریه و تیلور

برنامه بسط تیلور

انواع تابع

اعداد مختلط