مقاله پذیرفته شده در دهمین کنفرانس آموزش ریاضی ایران

مقاله پذیرفته شده در دهمین کنفرانس آموزش ر یاضی ایران ،یزد 1387

نویسنده:الهام صحرایی

موضوع: هنر و آموزش رياضيات

چکيده

اين تصور در دانش آموزان که رياضيات درس دشوار و خشکی است ، باعث می شود که آنها به عمق رياضيات وارد نشوند و ما در آينده ، دانش آموزانی را داشته باشيم که چيزی از رياضيات در ذهن ندارند به جز چند تا فرمول که حفظ کرده اند. پس بايستی به دنبال روش هايی بود که آموزش و يادگيری رياضيات را جذاب کند . اگر آموزش رياضيات با يک روش جالب و جذاب برای دانش آموزان همراه باشد ، يادگيری موثرتری صورت می گيرد . در اين جا اين سوال پيش می آيد که کدام روش ها هستند که در آموزش رياضيات ، يک فضای آموزشی جالب ايجاد می کنند؟ چگونه می توان در مباحث مختلف رياضی از اين روش ها بهره برد ؟ در ميان روش هاي کلي آموزش درس رياضی ، مي توان به روش هنري اشاره کرد که از دير باز مورد نظر قرار داشته است .روش هنری آموزش رياضيات را می توان از طبيعت ايده گرفت استفاده ي متنوع از اين روش در زندگي انسان ، از جمله در فعاليت هاي تفريحي ، رسانه هاي جمعي و کاربرد هاي پراکنده ي آن در برنامه هاي درسي و آموزشي و وجود شواهد و قرائني حاکي از علاقه مندي و گرايش خاص دانش آموزان نسبت به برنامه هاي هنري ، لزوم انجام بررسي هاي گسترده را در اين زمينه آشکار مي سازد . ما در اين مقاله ، ارتباط بين هنر و آموزش رياضی را مورد بحث قرار داديم و اين که آموزش هنری درس رياضيات چه تاثيری در يادگيری رياضيات دارد .

واژه های کليدی : روش هنری آموزش رياضی _ ارتباط بين هنر و رياضی _ طبيعت

۱- مقدمه

در ميان روش های آموزش رياضيات ، روش هنری به عنوان يک روش نو و جالب رونمايی می کند . تبيين اهميت تاريخي هنر و کاربرد آن در فرهنگ هاي مختلف ، نقش هنر در حيات اعتقادي و فرهنگ اسلامي و بررسي آن از ديدگاه روان شناسي و بالاخره در آموزش رياضيات هر يک به نوبه ي خود بر کاربرد گسترده ، استمرار و نقش هنر در زندگي فردي و اجتماعي انسان اشاره دارد و ضرورت استفاده ي مناسب از آن را آشکار مي سازد . همچنين بررسي ويژگي هاي ذهني ، عاطفي و نياز هاي رواني دانش آموزان همراه با ذکر ويژگي ها و زمينه هاي موجود در آثار و فعاليت هاي هنري ، مبين ارتباط دروني دانش آموز با پديده هاي هنري است و علل استقبال دانش آموزان از پديده هاي هنري را مشخص مي سازد . چنين ارتباطي حاکي از آن است که هنر بر دانش آموزان تاثيراتي ويژه دارد و در يادگيري آنان عاملي در خور توجه به شمار مي رود . نقش پرورشي هنر را مي توان در ايجاد سهولت در امر يادگيري و فراهم آوردن شرايط لازم جهت ايجاد تغييرات مطلوب در ابعاد مختلف شخصيت و رفتار هاي دانش آموزان جست و جو کرد .

از خدمات هنر ، نقشي است که در آموزش علمي به عهده دارد . انواع افسانه ها، داستان ها ، نمايش ها و فيلم هاي هنري و نيز طرح ها و تصاوير متنوع در تحريک و تقويت حس کنجکاوي و ميل به جست و جو گري دانش آموزان در شناخت پديده ها ي هستي و محيط پيرامون خود موثرمی باشد . پرورش نيروي تخيل و ايجاد انگيزه هاي مناسب از طريق هنر، از جمله عواملي است که راه را جهت اختراعات و اکتشافات هموار ساخته است . همچنين ارائه ي آثاري راجع به زندگي مخترعين، مکتشفين و يا سير تاريخ تحول و تکامل انديشه هاي علمي ، در قالب داستان ها و يا فيلم هاي داستاني ، از عوامل موثري است که موجب تقويت تمايل و علاقه مندي کودک و نوجوان در پرداختن به فعاليت هاي علمي و دنبال نمودن اهداف آن خواهد شد .

از ديگر موارد ، ارائه ي مفاهيم و اطلاعات مختلف ، بسط دانش و پرورش قدرت شناخت مخاطبين ، به گونه اي غير مستقيم ، از طريق داستان ها و يا نمايش ها و ديگر نوشته ها و فعاليت هاي متنوع هنري است . در اين مورد نيز ، وجود نقاشي ها و تصاوير گيرا با سبک هاي مناسب ، سهم عمده اي در جهت موفقيت در آموزش علمي دانش آموزان ، مخصوصا در درس رياضيات دارد . امروزه بهره گيري از شيوه هاي هنري در بيان مفاهيم ، قوانين و مطالب علمي در کتاب هاي درسي نقش بر جسته دارد . کاربرد شيوه هاي هنري و غير مستقيم مي تواند از خشکي مطالب و متون علمي بکاهد . گيرايي حاصل از ابعاد قوي تکنيکي ، شرايط لازم در جهت استقبال بيشتر دانش آموز و درک مفاهيم آن را فراهم آورده و تاثيرات بارزي در تلاش هاي آتي وي ، در زمينه هاي علمي ، خواهد داشت . مخصوصا آموزش مفاهيم و مطالب رياضيات .

براي تقويت ذهن رياضي دانش آموز ، مي توان از تخيل او کمک گرفت . مثلا از او خواست تا يک مکعب چهار بعدي رسم کند ؛ اگر فضاي فيزيکي ما چهار بعدي بود ، چه مساله هايي در برابر ما مطرح مي شد ؟ اگر زمان را هم مي شد ، هم چون وزن ، در نقطه هاي خاصي از صفحه يا خط ، متمرکز کرد ، چه امکان هايي براي محاسبه بدست مي آمد ؟ و ... . بايستي دانش آموز را به فکر وا داشت و او را به دنيايي بزرگتر و غني تر از آن چه مي شناسد برد . هر چه به روش ها- و نه بر حفظ کردن قضيه ها و راه حل مساله – تکيه شود و هر مقدار وقتي که صرف آموزش بنيان ها و مباني رياضيات بشود ، زياد نيست . کار آرام ، مستمر و پر حوصله ، همراه با بر انگيختن شوق و کشش دانش آموزان است که مي تواند « انديشه ي رياضي » را در آن ها بوجود آورد . « انديشه ي رياضي » چيزي است که به وجود آمدن آن « در فرد ، تنها ، به تدريج و با آشنا کردن دانش آموز با روش ها و آگاهي هاي معين تفکر در طول زمان ، ممکن است ،همان طور که خود « انديشه ي رياضي » در طول تاريخ و با تلاش نسل هاي متوالي انسان ، تکامل يافته است .

۲- هنر و آموزش رياضيات

انواع هنر همچون ابزار قدرتمندي هستند که مي توانند به رويارو شدن با دشواري هاي رياضي به بهترين شکل ممکن کمک کنند . دشواري هايي که هدف از تسهيل آن ها بهبود ياد دهي و يادگيري مي باشد . نقش آموزشي هنر نه تنها در بهبود کيفيت فهم مساله بسيار حياتي و اساسي است بلکه براي متحول کردن طرز تفکر به شيوه هاي گوناگون داراي قدرت و ظرافتي است که در ساير موضوعات آموزشي چنين قدرتي را سراغ نداريم . مطالعات و بررسي ها نشان داده اند که انواع هنر مهارت هاي تفکر انتقادي مربوط به طرح و حل مساله – تجزيه و تحليل – ترکيب – ارزشيابي و تصميم گيري در مورد پارامتر هاي مساله را تحريک و تقويت مي کنند . تربيت هنري موجب پرورش توانايي تعبير و فهم نماد هاي پيچيده مي شود که نمونه ي بارز آن آشنايي با نماد هاي رياضي مي باشد . همچنين در پرورش خلاقيت نقش محوري را ايفا مي کند و موجب پرورش مهارت به تصوير کشيدن ذهني مساله مي شود و آموزنده را توانمند مي کند تا روش هاي حل غير متعارف و غير سنتي را به ذهن بياورد .

لازم به ياد آوري است که مطالعه و توليد اثر هنري به خودي خود داراي اعتبار است . از اين جهت شکل گيري آموزش رياضيات به صورت هنري ، هويت فرهنگي را در چار چوب هدفمندي حفظ و نگهداري مي کند و بالعکس به کار گيري هنر به بهترين شکل در فهم و ادراک مطالب کمک شاياني مي کند . با ذکر اين مطالب و روشن شدن ارزش آموزش رياضي مبتني بر هنر تنها اشاره به اين نکته کافيست که آموزش هنري رياضيات امري بنيادين به خصوص در مقاطع اوليه تحصيلي مي باشد و به کار گيري آن نبايد امري تجملي تلقي گردد.

۳ - تاريخچه ارتباط رياضيات و هنر

در دوران رنسانس ، نقاشان بزرگ ، رياضي‌دان هم بودند. آلبرتي (۱۴۷۲ - ۱۴۰۴) نخستين نياز نقاش را هندسه مي‌دانست. او بود که در سال ۱۴۳۵ ميلادي ، اولين کتاب را درباره پرسپکتيو نوشت. نقاشان و هنرمندان براي جان دادن به تصويرها و القاي فضاي سه بعدي به آثار خود ، به رياضيات روي آورند. بنابراين همه نقاشان دوره رنسانس نظير آلبرتي ، ديودر ، ليوناردو داوينچي ، رياضي‌داناني هنرمند يا هنرمنداني رياضي‌دان بودند. دزارک که خود ، معماري هنرمند بود به خاطر همين نياز نقاشان و با اثبات قضيه‌اي که به نام خود او معروف است، هندسه تصويري را بنيان نهاد و بعد از آن رفته رفته اصول بيشتري از رياضيات تاييد شد.

۴- رياضيات کليد طلايي براي زيبايي شناسي

طبيعت عنصر تقارن را عنوان نشانه زيبايي به هنرمند تلقين مي‌کند و سپس رياضي‌دان با کشف قانونمنديهاي تقارن به مفاهيم شبه تقارن , تقارن لغزنده مي‌رسد و کوبيسم را به هنرمند (نقاش ، شاعر يا موسيقي‌دان) تلقين مي‌کند. نغمه‌ها و آواهاي موجود در طبيعت الهام دهنده ترانه‌هاي هنرمندان بوده و رياضيدانان با کشف قانونهاي رياضي حاکم بر اين نغمه‌ها و تلاش در جهت تغيير و ترکيب آنها گونه‌هاي بسيار متفاوت و دل انگيزي در موسيقي آفريده‌اند. هر زمان که محاسبه درست رياضي در نوشته‌هاي ادبي رعايت شده، آثار جالب و ماندگار و نزديک به واقعيت و قابل قبول براي مخاطب خلق شده است. يکي از نمونه‌هاي اين مساله رعايت توجه صحيح آندره يه ويچ در افسانه ثروتمند فقير به محاسبات رياضي در داستان خود مي‌باشد (البته بدون وارد کردن محاسبات عددي) که آن را به اثري ماندگار و قابل پذيرش تبديل کرده است. ترسيمهاي هندسي و نسبت زرين کمک شاياني به هنرمندان معمار و برج ساز و … مي‌کند.

۵ - زيبايي رياضيات در کجاست؟

در واقع تمامي عرصه رياضيات سرشار از زيبايي و هنر است. زيبايي رياضيات را مي توان در شيوه بيان موضوع ، در طرز نوشتن و ارايه آن در استدلالهاي منطقي آن ، در رابطه آن با زندگي و واقعيت ، در سرگذشت پيدايش و تکامل آن و در خود موضوع رياضيات مشاهده کرد. يکي از راههاي شناخت زيباييهاي رياضيات (بخصوص هندسه) آگاهي بر نحوه پيشرفت و تکامل است. جنبه ديگري از زيبايي رياضيات اين است که با همه انتزاعي بودن خود ، بر همه دانشها حکومت مي‌کند و جز قانونهاي آن ، همچون ابزاري نيرومند دانشهاي طبيعي و اجتماعي را صيقل مي‌دهد، به پيش مي‌برد، تفسير مي‌کند و در خدمت انسان قرار مي‌دهد.

۶- زيبايي مسايل رياضي

براي بسياري از مسايل رياضي راه حلهاي عادي وجود دارد که وقتي اينگونه مسايل را (با اين روشها) حل مي‌کنيد، هيچ احساس خاصي به شما دست نمي‌دهد و حتي ممکن است تکرار آن شما را کسل کند. ولي وقتي به مساله‌اي برمي‌خوريد که همچون دري مستحکم در برابر شما پايداري مي‌کند و از هر سمتي به آن حمله مي‌کنيد ناکام مي‌شويد… زماني که ناگهان جرقه‌اي ذهن شما را روشن مي‌کند… عجب!… پس اينطور!… چه زيبا!… و مساله حل مي‌شود. در رياضيات اغلب از اصطلاح زيباترين راه حل يا زيبايي راه حل استفاده مي‌کنيم. ولي چرا يک راه حل مساله ما را تنها قانع و راضي مي‌کند در حالي که ديگري شوق ما را برمي‌انگيزد و شجاعت فکر و ظرافت روش را آن موجب شگفتي ما مي‌شود؟ راه حل زيبا بايد تا حدي ما را به شگفتي وا دارد ولي تنها وجود يک جنبه نامتعارف و غير عادي زيبايي استدلال رياضي را روشن نمي‌کند، بلکه بايد عينيت نيز داشته باشد.

هم ريختي نمونه با پديده مورد نظر و سادگي درک نمونه و سادگي کار کردن با آن ، مفهوم عيني بودن را تشکيل مي‌دهد. با بکار گرفتن عينيت ، زبان دشوار پديده را به زبان ساده‌تر مدل عيني ترجمه مي‌کنيم و نتايج لازم را بدست مي‌آوريم.وقتي که دانش آموزي مي‌خواهد به تنهايي مساله دشواري را حل کند نمونه عيني پديده‌اي را بايد در مساله شرح دهد، براي خودش بسازد، دشواري مساله‌هاي نامتعارف در اين هست که براي حل آنها بايد بطور مستقل نمونه همريخت (مساله هم ارز) را انتخاب کرد به نحوي که از پديده نخستين ساده‌تر باشد. نامتعارف بودن اين نمونه و نامنتظر بودن آن به معناي زيبايي و ظرافت راه حل است. زيبايي حل يک مساله را وقتي احساس مي‌کنيم که به کمک يک نمونه عيني بدست آيد و در ضمن نامنتظر باشد که بطور مستقيم به ذهن هر کسي نمي‌رسد و به زحمت در دسترس قرار مي‌گيرد.

۸- جايگاه هنر در درس رياضي

تصور و خيال ، يکي از سرچشمه هاي اصلي آفرينش هاي هنري است ، در رياضيات هم ، دست کم عنصر هاي زيبايي و هنر وجود دارد چرا که مايه ي اصلي کشف هاي رياضي ، همان تصور و خيال است . به قول ولاديمير ايليچ نويسنده ي « دفاتر فلسفي » ، تصور و خيال « حتي در رياضيات هم لازم است ، حتي کشف حساب ديفرانسيل و انتگرال هم ، بدون تصور و خيال ، ممکن نبود . » با هيچ نيرنگي ، نمي توان از کشش انسان ها به سمت زيبايي ها جلوگيري کرد و آن چه زشت و نازيبا است را جانشين زيبايي ها کرد . تمامي عرصه ي رياضيات ، سرشار از زيبايي و هنر است . زيبايي رياضيات را مي توان ، در شيوه ي بيان موضوع ، در طرز نوشتن ارائه ي آن ، در استدلال هاي منطقي آن ، در رابطه ي آن با زندگي و واقعيت ، در سر گذشت پيدايش و تکامل آن و در خود موضوع رياضيات مشاهده کرد .

هندسه ، به مفهوم عام آن ، زمينه اي است سر شار از زيبايي . مي گويند افلاطون ، تقارن را مظهر و معيار زيبايي مي دانست و چون ، گمان مي کرد تنها هندسه است که مي تواند رازهاي هندسه را بر ملا کند و از ويژگي هاي آن براي ما سخن بگويد ، به هندسه عشق مي ورزيد و بر سر در آکادمي خود نوشته بود : « هر کس هندسه نمي داند وارد نشود . » و هنوز هم ، با آن که هنر کوبيسم بسياري از سنت ها را درهم شکست و زيبايي هاي خيره کننده ي نا متقارني را آفريد ، باز هم از قدر و قيمت تقارن چيزي نکاست ، و چه مردم عادي و چه صاحب نظران ، همچنان اوج زيبايي را در تقارن و تکرار مي بينند . شايد بتوان گفت که کوبيسم ، مفهوم زيبايي ناشي از تقارن را ، گسترش داده و تکامل بخشيده است .

هندسه ، همچون ديگر شاخه هاي رياضيات ، زاده ي نيازهاي آدمي است ، ولي در اين هم نمي توان ترديد کرد که ، در کنار ساير عامل ها يکي از علت هاي جدا شدن هندسه از عمل و زندگي و شکل گيري آن به عنوان يک دانش انتزاعي ، کشش طبيعي آدمي به سمت زيبايي و نظم بوده است . و هرچه هندسه تکامل بيشتري پيدا کرده و عرصه هاي تازه اي را گشوده ، نظم و زيبايي خيره کننده ي آن ، افزون تر شده است . از همين جا است که ، يکي از راه هاي شناخت زيبايي رياضيات و به خصوص هندسه ، آگاهي بر نحوه ي پيشرفت و تکامل آن است . مفهوم نقطه و خط راست ، از کجا آغاز شد و چگونه از فراز و نشيب ها گذشت ، تا به ظرافت و شکنندگي امروز رسيد . ما در طبيعت دور و بر خود ، نه تنها نقطه و خط راست هندسي ، بلکه دايره مستطيل و کره و متوازي السطوح هم به معناي انتزاعي خود نمي بينيم .

اين ذهن زيبا جو و در عين حال ، آفريننده ي انسان بوده است که چنين شکل ها و جسم هاي به
غايت ظريف و زيبا را ابداع کرده است و سپس کاربرد هاي عملي زيبا تري هم براي آن ها يافته است .

با چند ضلعي هاي محدب منتظم ، که نمونه هاي جالبي از شکل هاي متقارن اند ، مي توان تصوير هاي جالب و زيبايي به دست آورد . ولي جالب تر از آن ها ، چند ضلعي منتظم مقعر ، يا چند ضلعي منتظم ستاره اي اند . ساده ترين آن ها ، يعني پنج ضلعي منتظم ستاره اي را به سادگي مي توان رسم کرد . بررسي ويژگي هاي چند ضلعي هاي منتظم ( محدب و مقعر ) و بدست آوردن شکل هاي ترکيبي از آن ها ، زمينه ي گسترده اي براي جلب دانش آموزان ، به زيبايي هاي درس هاي رياضي است . از آن جالب تر ، کار با چند وجهي هاي منتظم است .

نشان دادن فيلم ها و اسلايد ها از چند وجهي هاي افلاتوني و چند وجهي هاي نيمه منتظم ، يه ويژه اگر همراه با توضيح ساختمان بلور ها و دانه هاي برف باشد ، مي توانند وسيله ي بسيار خوبي ، براي بيدار کردن احساس زيبايي دوستي دانش آموزان باشد . ولي نبايد گمان کرد که در اشکال نا منتظم نمي توان زيبايي ها را جست جو کرد . نسبت ها و اندازه گيري ها ، زمينه ي بسيار مساعدي است که مي تواند موجب رشد احساس زيبايي شناسي دانش آموزان بشود و آن ها را به طرف رياضيات جلب کند . مسأله هاي مربوط به ماکزيمم و مي نيمم يکي از جالب ترين و دلکش ترين زمينه ها در هندسه است که ، نه تنها نيروي تفکر و استدلال دانش آموز را بالا مي برد ، بلکه در ضمن ، احساس هنري و زيبا شناسي او را هم بيدار مي نمايد .

در هندسه وقتي پاره خطي را طوري به دو بخش تقسيم کنيم که مجذور بخش بزرگتر برابر با
حاصل ضرب تمام پاره خط در بخش کوچکتر باشد ، مي گويند که : « پاره خط را به نسبت زرين تقسيم کرديم . » تقسيم پاره خط به نسبت زرين» از دوران يونان باستان شناخته شده بوده است و رياضي دانان يونان باستان مستطيلي را که روي اين دو بخش پاره خط ساخته شود زيباترين مستطيل مي دانسته اند و آزمايش فوق توانست درستي نظر رياضي دانان باستاني را تاييد کند .

درباره ي نسبت زرين بايد ياد آوري کرد که از همان دوران باستان ، از اين نسبت در مجسمه سازي و معماري به فراواني استفاده مي کرده اند . از همان دوران باستان رياضي دانان در جست و جوي زيباترين راه حل براي مسأله ها بوده اند . در رياضيات اغلب از اصطلاح زيباترين راه حل يا زيبايي راه حل استفاده مي کنند . معلم ابتدا مسأله را به طريق عادي حل مي کند و سپس راه حل هوشمندانه و ساده اي را براي حل مسأله وجود دارد ، به دانش آموزان نشان مي دهند . از ساده ترين مسأله هايي که در دبستان مطرح مي شود ، تا دشوارترين مسأله هاي سال آخر دبيرستان ، مي توان از اين شيوه استفاده کرد .

نتيجه گيری

درس هاي رياضي مي تواند نقش عمده اي در شکوفايي زيبايي شناسي داشته باشد و معلم با تجربه مي تواند از هر فرصتي براي تقويت درک هنري دانش آموزان استفاده کند و ظرافت بيشتري به روحيه ي زيبا شناسي آن ها بدهد . کودکان و نوجوانان هر چيز جالب را دوست دارند و در رياضيات ، موضوع هاي جالب و زيبا ، فراوان است . رياضيات دانشي است منطقي ، دقيق و قانع کننده و همه ي بخش هاي آن ، مثل حلقه هاي زنجير به هم پيوسته اند. سرچشمه ي تأثير احساسي و هنري رياضيات را ، بايد در قطعي بودن نتيجه گيري ها و عام بودن کاربردهاي آن و هم چنين ، در کامل بودن زبان رياضيات ، شاعرانه بودن تاريخ آن و در مسأله هاي معمايي و سرگرم کننده ، جستجو کرد .

پيشنهادات

۱ . تاليف يک کتابی که شامل کاربرد ها ی( در طبيعت و زندگی ) مفاهيم رياضيات (در مقاطع مختلف تحصيلی ) باشد و همچنين شامل قسمتی که دانش آموز در آن تصاوير هنری خودش را ترسيم می کند ( برای بالا بردن تفکر رياضی وار دانش آموزان ) . در واقع ، از کاربرد های رياضيات در محيط زندگی و طبيعت و همچنين از هنر مرتبط با رياضيات در طبيعت ، در اين کتاب جمع آوری می شود . مثل تصاویر زیر: