چند ضلعی های منتظم

در هندسه اقلیدسی، یک چندضلعی منتظم، چندضلعی است که همه زوایا واضلاع آن هم‌اندازه‌اند.

چندضلعی‌های منتظم، می‌توانند کوژ و یا به شکل ستاره باشند. در حالت حدی، یک دنباله از چندضلعی‌های منتظم با افزایش تعداد اضلاع، در صورت ثابت ماندن محیط بهدایره تبدیل می‌شود و در صورت ثابت ماندن طول ضلع، به apeirogon تبدیل می‌شود.

محتویات

[نهفتن]

ویژگی‌ها[ویرایش]

ویژگی‌های بیان‌شده در ادامه، برای همهٔ چندضلعی‌های منتظم (اعم از کوژ وستاره‌ای) برقرار است.

یک چندضلعی منتظم n-ضلعی، تقارن چرخشی از مرتبهٔ n دارد.

همهٔ رأس‌های یک چندضلعی منتظم بر روی یک دایره (دایره محیطی) قرار می‌گیرند. به‌عبارت دیگر، رأس‌ها نقاطی هم‌دایره هستند. یعنی یک چندضلعی منتظم، لزوماً یک چندضلعی دایره‌ای هم هست.

هر چندضلعی منتظم، یک دایره محاطی دارد که به همه اضلاع در نقطهٔ وسط آنهامماس است. بنابراین هر چندضلعی منتظم، لزوماً یک چندضلعی مماسی هم هست.

یک n-ضلعی منتظم با استفاده از خط‌کش و پرگار قابل ترسیم است؛ اگر و تنها اگر فاکتورهای اول فرد n، اعداد اول فرمای متفاوتی باشند.

چندضلعی‌های منتظم کوژ[ویرایش]

همهٔ چندضلعی‌های سادهٔ منتظم، کوژ هستند. چندضلعی‌های منتظم باتعداد اضلاع یکسان، متشابه هستند. یک n-ضلعی منتظم کوژ، بانماد شلفلی {n} نشان داده می‌شود.

مثلث متساوی‌الاضلاع {۳}	مربع {۴}	پنج‌ضلعی {۵}	شش‌ضلعی {۶}	هفت‌ضلعی {۷}	هشت‌ضلعی {۸}	نه‌ضلعی {۹}	ده‌ضلعی {۱۰}
یازده‌ضلعی {۱۱}	دوازده‌ضلعی {۱۲}	سیزده‌ضلعی {۱۳}	چهارده‌ضلعی {۱۴}	پانزده‌ضلعی {۱۵}	شانزده‌ضلعی {۱۶}	هفده‌ضلعی {۱۷}	هجده‌ضلعی {۱۸}	نوزده‌ضلعی {۱۹}
بیست‌ضلعی {۲۰}	سی‌ضلعی {۳۰}	چهل‌ضلعی {۴۰}	پنجاه‌ضلعی {۵۰}	شصت‌ضلعی {۶۰}	هفتادضلعی {۷۰}	هشتادضلعی {۸۰}	نودضلعی {۹۰}	صدضلعی {۱۰۰}

زاویه‌ها[ویرایش]

برای یک n-ضلعی منتظم کوژ، اندازهٔ هر زاویهٔ داخلی برابر است با:

$\left(1-\frac{2}{n}\right)\times 180$ یا $(n-2)\times \frac{180}{n}$ درجه

یا $\frac{(n-2)\pi}{n}$ رادیان

و اندازهٔ هر زاویه خارجی آن برابر است با $\tfrac{360}{n}$ درجه.

قطرها[ویرایش]

برای n > ۲، تعداد قطرهای n-ضلعی، برابر است با $\tfrac{n (n-3)}{2}$ ، به‌عنوان مثال برای مثلث، چهارضلعی، پنج‌ضلعی و شش‌ضلعی، تعداد قطرها به‌ترتیب، ۰، ۲، ۵ و ۹ است.

برای یک n-ضلعی منتظم محاط‌شده در یک دایره به شعاع واحد، حاصل‌ضرب فاصلهٔ هر رأس تا همهٔ رأس‌های دیگر، برابر است با n.

مساحت[ویرایش]

پنج‌ضلعی منتظم با طول ضلع s، شعاعدایره محیطی r و شعاع دایره محاطی a

مساحت یک n-ضلعی منتظم کوژ با اندازهٔ ضلع s، شعاع دایره محیطی r، شعاع دایره محاطیa و محیط p با استفاده از روابط زیر بدست می‌آید:[۱][۲]

$A= \tfrac{1}{2}nsa = \tfrac{1}{2}pa = \tfrac{1}{4}ns^2\cot{\tfrac{\pi}{n}} = na^2\tan{\tfrac{\pi}{n}} = \tfrac{1}{2}nr^2\sin{\tfrac{2\pi}{n}}$

مساحت یک چندضلعی منتظم با طول ضلع s=۱، شعاع دایره محیطی r =۱ و شعاع دایره محاطی a =۱ در جدول زیر ارائه شده است:

[نمایش]تعداد اضلاع	نام چندضلعی	مساحت با طول ضلع s=۱	مساحت با شعاع دایره محیطی r=۱	مساحت با شعاع دایره محاطی a=۱

در بین همهٔ n-ضلعی‌ها با محیط داده‌شده، بیشترین مساحت مربوط به n-ضلعی منتظم است.[۳]

چندضلعی‌های منتظم ستاره‌ای[ویرایش]

یک ستاره پنج‌پر {5/2}

یک چندضلعی منتظم غیرکوژ، یک چندضلعی منتظم ستاره‌ای است. متداول‌ترین نمونه، ستاره پنج‌پر است که رأس‌های آن دقیقاً مشابه پنج‌ضلعی منتظم هستند، ولی هر رأس به دو رأس متفاوت با پنج‌ضلعی متصل شده است.

چند ضلعی های منتظم

محتویات

ویژگی‌ها[ویرایش]

چندضلعی‌های منتظم کوژ[ویرایش]

زاویه‌ها[ویرایش]

قطرها[ویرایش]

مساحت[ویرایش]

چندضلعی‌های منتظم ستاره‌ای[ویرایش]

مطالب مشابه :

چند ضلعی

روش رسم پنج ضلعی منتظم

چند ضلعی های منتظم

پنتاگرام یا پنج ضلعی وارونه چیست ؟

ما شهید می شویم ...

ساخت چند ضلعی منتظم

زوایای داخلی چند ضلعی