استراتژی جورج پولیا در حل مساله

البته باید توجه داشت که تمام اجزای این چار چوب در حال تعامل دائم با هم هستند مثلا ممکن است که کسی در مرحله ی سوم متوجه شود که طرحی که تهیه کرده به نتیجه نخواهد رسید یا موانعی در راه وصول آن است. در نتیجه دوباره به مرحله اول و دوم برگشته و با درک جدیدی که از مسئله پیدا می کند طرحی نو می ریزد و آن را به اجرا می گذارد

1- فهم مساله : برای حل مساله ابتدا باید صورت مساله را خوب درک کرد . پس اولین وظیفه برای حل یک مساله , فهم درست و کامل یک مساله است .

باید پیش از هر چیز روشن شود که مساله از نوع (ثابت کردنی ) است یا (پیدا کردنی )

در جهت دستیابی به این مهم نکات زیر را می توان در نظر گرفت

-خواندن مساله به طور پی در پی

- مراجعه به منابع دیگر برای روشن ساختن معنی های لغتها و عبارتهای کلیدی

-بیان دوباره مساله با استفاده از عبارتهای آشنا تر

-ارزشیابی داده های مساله برای تعیین این که آیا اطلاعات موجود برای حل مساله کافی هستند وآیا داده های اضافی در مساله وجود دارند یا خیر

-تعیین این که آیا فرضیه های پوشیده ای در مساله وجود دارند که حاوی اطلاعات لازم برای حل مساله است یا خیر

-رسم منحنی شبیه یا مدل سازی مناسب با موقعیت مساله

-در نظر گرفتن تفسیرهای بدیل

پولیا معتقد است برای حل یک مساله باید موارد زیر به خوبی روشن شود :

الف) چه چیزی را باید پیدا کرد ؟ ( مجهول چیست ؟)

ب) چه چیزی مفروض است ؟( معلومات چیست ؟)

ج) چه رابطه ای بین مجهولات و معلومات موجود است ؟

2- تهیه طرح یا نقشه برای حل مساله : ممکن است برای حل یک مساله چندین راه موجود باشد اما باید به دنبال طرحی بگردیم که ما را مستقیما به هدف برساند . دراین راه می توان از مسایل کمکی نیز استفاده کرد .

به هر حال کسی که می خواهد مساله حل کن خوبی باشد باید توانایی تجدید نظر در طرح را در صورت عدم کارایی استرازدی اولیه خود داشته باشد

چند نمونه از استرازدی ها یی که ممکن است در طول حل مساله مورد استفاده واقع شوند از این قرارند

-تهیه فهرست جدول ها و منحنی های منظم وسازمان یافته

-جستجو برای الگو

-کار کردن برعکس

-انتخاب نمادهای مناسب

-مشخص کردن اطلاعات داده شده مورد احتیاج و خواسته شده

-نوشتن یک معادله یا یک فرمول

-حل یک مساله ساده تر و مرتبط با مساله ی داده شده

-تقسیم مساله به زیر مساله های مختلف و حل هر کدام از آنها

-استفاده از استدلال استنتاجی

-کنترل فرضیه های پنهان در صورت مساله

-حدس یک جواب و آزمایش آن

-تغییر نحوه ی نگرش به مساله (تغییر دیدگاه)

کهلر آزمایشی انجام داده است به این ترتیب که : میمونی را در اتاقکی قرار می داد و در بیرون اتاقک موزی وجود داشت که دست میمون به آن نمی رسید , جانور با جدیت می کوشید تا به موز بیرون اتاقک دست یابد ولی بی نتیجه بود . در محدوده ای که دست او می رسید قطعه چوبی بود که جانور ظاهرا هیچ توجهی به آن نداشت ناگهان میمون چوب را برداشت و موز را حرکت داد و آن را خورد . حیوان برای برداشتن موز , از مساله ای دیگر که همان برداشتن قطعه چوب است استفاده کرد که به این مساله , " مسالهکمکییافرعی" می گویند . با حل این مساله , پیدا کردن راه حل مساله هموار می گردد.

3- اجرای طرح یا نقشه : پس از تهیه طرح باید آنرا به اجرا گذاشت . نکته اساسی این است که شخص نظارت کامل بر پیشرفت اجرای طرح داشته باشد تا اگر زمانی احساس کرد که ممکن است او را به حل مساله نرساند بتواند طرح جدیدی را تهیه و اجرا کند .

سوالاتی را که شخص درگیر حل مساله در حالی که ناظر بر پیشرفت طرح است می تواند سوالهایی مانند زیر از خود بپرسید

-آیا این طرحی که تهیه کرده ام مرا به حل مساله هدایت می کند

-آیا به طرح بدیلی نیاز دارم؟ آیا لازم است که طرح فعلی را کنار گذاشته و طرح جدیدی تهیه نمایم؟

-آیا برای اجرای طرح خود به اطلاعات اضافه تر یا کمک دیگران نیاز دارم

-آیا من دقت وتلاشم را برای ردیابی مراحل پیشرفت خود در حل مساله مستند کرده ام؟

4- بازنگری : پس از اتمام مرحله اجرا , حل کننده مساله باید یک بازنگری بر تمامی مراحل داشته باشد و جوابها و برهان ها را امتحان کند .

از جمله موردهای مهمی که در این مرحله باید در نظر گرفت یکی معنی دار بودن جواب مساله با توجه به سوالهای طرح شده و دیگری تعمیم پذیری مساله است . همچنین شخص با بازنگری کلی می تواند کاربرد وسیع تر استرازدی های به کار گرفته شده را شناسایی کرده و راه حل های متفاوت حل مساله را مطالعه کند.

مرحله های حل مساله باید به نحوی تدوین شوند تا هم حل مساله برای دیگران مشخص شود و هم اینکه شخص حل کننده ی مساله بتواند از طریق حل مساله با دیگران ارتباط برقرار کرده و از فرایند و نتیجه های حل مساله ی خود دفاع نماید.

سوالهایی مشابه نمونه های زیر از خود بپرسد و سعی در یافتن جواب برای آنها داشته با شد

-ایا جواب من به اندازه ی مورد قبول مستدل است؟

-در جریان حل مساله چه چیزی یاد گرفتم که قبلا نمی دانستم؟

-چه نکاتی در این مساله هست که من می توانم در مسائل دیگر نیز آنها را تشخیص دهم؟

-آیا می توانم مساله های مرتبط با این مساله ی حل شده را مطرح کرده و حل کنم؟

-آیا می توانم حل مساله را برای دیگران توضیح داده مستند کرده یا تعمیم دهم؟

-آیا تمام راه حل های ممکن را یافته ام ؟ آیا مساله راه حل دیگری دارد؟

-آیا به جز استرازدی هایی که در اولین بررسی مرا به حل مساله راهبر شدند استرازدی های دیگری را نیز امتحان کرده ام؟

(( اگرمیخواهیدشنایادبگیریدباشجاعتواردآبشویدواگرمیخواهیدمسالههارایادبگیریدآنهاراحلکنید . ))

با استفاده از مدل پیشنهادی پولیا مساله های زیر را در کلاس به بحث بگذارید و نتیجه ی کار یعنی فرایند های ذهنی را که دانش آموزان طی می کنند را ارئه دهید

1- از یک متوازی الاضلاع دو قطر و یک ارتفاع معلوم است متوازی الاضلاع را رسم کنید

2- 10/3 گنجایش ظرفی 120سی سی گنجایش کل ظرف چقدر است؟

این مقاله برگرفته شده از منابع زیر است:

1-پولیا جورج چگونه مساله را حل کنیم (ترجمه:احمد آرام).انتشارات کیهان . تهران. چاپ دوم:1369

2- ظهوری زنگنه . بیزن : گویا . زهرا . دوره های کوتاه مدت عملی یا کار گاهی آموزش ریاضی . اداره کل آموزشهای ضمن خدمت . تهران . 1372

انتخاب استراتزی در حل مساله

بعضی از به ظاهر انتخاب استراتزی ها در واقع به صحنه آوردن ذخایر دانشی هستند

اگر ریاضیدانی کتاب پولیا را مطالعه کند همه چیز برای او بدیهی جلوه می کند زیرا مدتها همین کارها رادر حل مسائل متعدد انجام داده است اما مطلبی که مورد توجه آموزشگران ریاضی است آموزش این استراتزیها است

دو مشکل اساسی وجود دارد: یکی اینکه استراتزیهای پولیا کلی وپیچیده اند یعنی هر استراتزی ای خود در واقع برچسبی است برای یک مجموعه از استراتزیهای جزئی تر که به کارگیری آنها به سادگی بیان آنها نیست

دوم اینکه ارائه الگو ممکن است حل کننده را دچار اشتباه کند

استقرای ریاضی پیش از آنکه نوعی ابزار یا استراتزی به دست آمده از تجزیه ی حل مساله باشد ابزاری منطقی است

یکی دیگر از استراتزیهای که پولیا به آن اشاره می کند امتحان کردن حالتها یا مقادیر خاص است شونفیلد با مثالهایی نشان داده است که این استراتزی را میتوان به چند استراتزی کوچکتر تقسیم کرد

همانطور که گفتیم بهترین راه آموختن (عمل) است باید یادگیرنده را در استخر مسائل انداخت شونفیلد با الهام از همین ایده و با تشکیل جلسات حل مساله با دانشجویان ثابت کرده است که در صورتی که تعداد کمی استراتزی را انتخاب کنیم و به یاد گیرندگان گوشزد کنیم که همواره به تمام آن استراتزیها برای حل مساله پیش رو توجه داشته باشند می توان انتخاب استراتزی را به آنها آموزش داد در گزارش های او از جلسات و کلاسهای حل مساله اش به این نکته اشاره شده است که چگونه تواناییهای حل مساله دانشجویان حاضر در کلاس نسبت به زمانی که تازه کار را آغاز کرده بودند تغییر کرده و در واقع به نحو چشمگیری افزایش یافته است به هر حال بر این نکته تاکید می کند که تعداد استراتزیهای آموزش داده شده اندک بوده اند و مسائل امتحانی نیز به گونه ای بوده اند که با همان چند استراتزی آموزش داده شده حل می شده اند اگر چه می توان با ادامه این جلسات با یک گروه ثابت به همین ترتیب توانایی های آنها را در استراتزیهای دیگر نیز افزایش داد لکن این محدودیتها باعث می شود که باز هم به سوال مطرح شده در بالا سوال کامل داده نشود افزایش تعداد استراتزیها مشکل مهم دیگری نیز به وجود میآورد و آن کنترل فرایند حل مساله است

آموزش به کار گیری و انتخاب استراتزی از طریق جلسات حل مساله با یاد گیرندگان بسیار مفید است اما اعتقاد من بر این است که اساسی ترین کار (یعنی پیش از آنکه بخواهیم انتخاب استراتزی را آموزش دهیم) اصلاح باورهای شخص درباره ی ریاضی است به کسی که هنوز نمی داند در یک مساله هندسی به جای پرداختن به خصوصیات ظاهری شکل باید به ماهیت ذاتی و پایه ای آن توجه کرد و استدلال و استنتاج منطقی درباره ی آن کرد چگونه میتوان انتخاب استراتزی برای حل مساله ی ثابت کردنی را آموزش داد؟

طی همین مسیر است که می توان ایده ی نگرش به یک مساله ی ریاضی از دیدگاههای گوناگون و مقدمات اندیشه وحدت موضوعی در ریاضیات را که قبلا نیز به آن اشاره کردیم در فراگیران ایجاد و تقویت نمود

در آموزش استراتزیها از طریق دادن مساله باید در انتخاب مساله ها دقت فراوان کرد زیرا هدف این است که با طرح یک مساله یک (یا یک نوع) استراتزی خاص را آموزش می دهیم اما یعضی مواقع ممکن است در یک استراتزی استراتزیهای دیگری هم دخالت کنند یا آن استراتزی خاص در قالب استراتزی دیگری بگنجد

مساله: حجم کره ی چهار بعدی واحد را بیابید

او حالتهای خاص این مساله یعنی یافتن طول فاصله ی واحد مساحت دایره ی واحد و حجم کره ی واحد در فضای سه بعدی را می داند در اینجا این حالتهای خاص به عنوان مساله ی کمکی عمل می کنند مساله ی کمکی به دو صورت کمک می کنند یا روش حل آنها کمک می کند یا بخشی از راه حل مساله ی اصلی را به دست می دهد

انتخاب استراتزی و کنترل

تجزیه ی یک استراتزی کلی به بخشهای تشکیل دهنده ی آن مشکلات جدیدی را به بار آورد انتخاب استراتزی در میانه کار حل مساله به هیج وجه کار ساده ای نسیت اما اگر فضای جستجو را محدود کنیم ممکن است از حجم کار کاسته شود و این کار به واقع یعنی کنترل عملیات حل مساله. مساله حل کن به طور بالقوه می تواند از صدها استراتزی مختلف و مفید استفاده کند

آنچه مورد نظر من است همنند بند قبل اصلاح باورها است گویی اهمیت این موضوع به قدری است که جایگاه آن قبل از هر نوع آموزش دیگر قرار دارد

رد پای پولیا بر سنگ قبر آخرین قضیه ی فرما

جورج پولیا آموزش گر برجسته ی ریاضی در کتاب های (چگونه مساله را حل کنیم ) و (خلاقیت ریاضی) راه کارهایی کلی برای حل مسائل ریلضی پیشنهاد می کند در این جا می خواهیم آن راه کارها را در مقایسه با حل آخرین قضیه ی فرما قرار دهیم

پولیا بیان می کند به ندرت می توانیم مسئله ای را در نظر بگریم که مطلقا نو باشد و با مسائلی که پیش تر حل کرده ایم شباهت و مناسبتی در آن دیده نشود از نظر او اگر چنین مسئله ای بتواند موجود باشد غیر قابل حل خواهد بود

هدفمان مقایسه ی اندیشه های پولیا با راهبردهای منجر به اثبات آخرین قضیه ی فرما می باشد

پولیا بیان می کند که باید در ابتدا هر حالت ساده ی خاص را مورد آزمایش قرار دهیم یعنی هر چیز که کمابیش به صورت اتفاقی انتخاب شود و بتوانیم آن را به آسانی امتحان کنیم اگر این امتحان نشان دهد که آن حالت با حکم کلی بیان شده سازگار نیست آن حکم باطل می شود و کار ما به پایان می رسد

ریاض دانان متعددی حالتهای خاصی از مسئله ی فرما را در نظر گرفتند و موفق شدند این مسئله را در این حالت های خاص اثبات کنند ولی هیچ یک از این راه حل ها منجر به حل مساله در حالت کلی نشد

پولیا بیان می کند آیا می توانید صورت مسئله را دوباره بیان کنید؟ آیا می توانید آن را به صورت دیگر بیان کنید ؟ از نظر او این پرسش ها مایه ی تقویت استعداد تغییر شکل دادن مسئله است ریاضی دانان متعددی این راهبرد را نیز مورد استفاده قرار دادند

هیچ یک از این فرمول بندی های جدید و نتایج بر آمده از آن ها نیز کمکی به حل مسئله ی فرما نکرد

مسئله ای که از آن بهره مند می شویم می بایستی از جهتی با مسئله ی حاضر ارتباط و وابستگی داشته باشد

دو مساله ی کمکی مهم در جریان اثبات آخرین قضیه ی فرما نقش اساسی ایفا کردند اولین مسئله حدس فری بود که توسط ریبت در 1986 اثبات شد و دیگری اثبات حدس شیمورا-تانیما بود که ریبت آن را در اثبات حدس فری درست فرض کرده بود اثبات حدس شیمورا-تانیاما آخرین حلقه ی زنجیر اثبات آخرین قضیه ی فرما بود که توسط اندرو وایلز صورت گرفت

پولیا بیان می کند یک قسمت اساسی از شناخت و دانش ریاضی ما به صورت قضایای پیش تر به اثبات رسیده در ذهمنان ذخیره شده است به همین دلیل چنین سوالی مطرح می شود که آیا از قضیه ای آگاهی دارید که بتواند سودمند باشد؟

وایلز در اثبات خود تمام توانیی های ابزارهای جدید جبر و هندسه و آنالیز و مباحث دیگر ریاضیات را به کار گرفت او همچنین توانست از نتایج ریاضی مهم هم عصر و پیشینیان تاریخی اش استفاده کند

دو مسئله ی کمکی مهم در جریان اثبات آخرین قضیه ی فرما نقش اساسی ایفا کردند اولین مسئله حدس فری بود که توسط ریبت در سال 1986 اثبات شد و دیگری اثبات حدس شیمورا- تانیاما بودکه ریبت آن را در اثبات حدس فری درست فرض کرده بود اثبات حدس شیمورا-تانیاما آخرین حلقه ی زنجیر اثبات آخرین قضیه ی فرما بود که توسط اندرو والیلز صورت گرفت

پولیا:متمرکز کردن دقت روی هدف

پولیا بیان می کند وقتی که می خواهید مسئله ای را حل کنید غالبا درباره آن فکر می کنید حتی ممکن است تا آنجا فکر شما را به خود مشغول کند که به اندیشه ای مزاحم تبدیل شود

پولیا بیان می کند هر قدر حل کننده ی مسئله جلوتر می رود آگاهی های بیش تر و بیشتری در مورد موضوع مورد مطالعه اش پیدا می کند

پولیا :هر گام را که بر می دارید وارسی و امتحان کنید آیا می توانید آشکارا ببینید که گام برداشته شده درست بوده است؟

(نبوغ عبارت است از یک درصد الهام و نود و نه درصد عرق ریختن)

هدف آموختن حل مسئله و نحوه ی تلاش ها در جریان حل مسئله بوده و در این حالت چه مسئله ای شایسته تر از یکی از بزرگترین مسائل سه قرن پیش

در این نوشتار به برخی از استراتزی های تاثیر گذار در روند اثبات آخرین قضیه فرما اشاره شد از جمله امتحان کردن یک حالت خاص بیان مسئله به صورتی دیگر در نظر گرفتن مسئله ای وابسته به مسئله اصلی جستجوی قضیه ای سودمند و تقسیم مسئله ای بزرگتر به مسئله های کوچکتر که برخی از این استراتزی ها نیز در عمل راه گشا نبودند

ذکر چند نکته ی مهم كتاب خلاقیت ریاضی جورج پولیا:

حل مساله :هنری است عملی مانند شنا و دوچرخه سواری ونواختن پیانو و این هنر را می توان یاد گرفت . البته با آموزش راه های حل مساله و…..

در حل مساله و آموزش آن تسلط بر موضوع مساله نکته ی بسیار مهمی است و به طور خلاصه تسلط برریاضی یکی از کلیدی ترین نکات است .

در ابتدا راه حل های مختلف برای هر مساله وجود دارد و شما ممکن است راه حل های مختلفی را آزمایش کنید و حتی به جواب برسید اما به قول لایپ نیتس راه حل خوب است به شرطی که از همان آغاز بتوان پیش بینی کرد که به دنبال کردن آن می توان به هدف رسید .

در کلاس های درس به دانش آموزان فرصت تفکر بدهید . ممکن است راه حلی که به ذهن یک دانش آموزخلاق می رسد به ذهن معلم کلاس نرسد .

هنر معلمی پاسخگویی به سوالات دانش آموزان نیست بلکه یاددهی شیوه های استدلال صحیح و نو آفرینی است

این نکات را معلمانی می توانند در کلاس درس به نحو مطلوب اجرا کنند که خود آموزش کافی دیده باشند که متاسفانه این طور نیست و یا لااقل به طور عام این طور نیست .

جرج پولیا معتقد است که حل مساله چیزی جز کشف نیست و بر عکس به شرط آن که هم در انتخاب نوع مساله ها و هم در شیوه ی کار با آن ها راه و رسمی درست در پیش گرفته شود .

1- به موضوع درس خودعلاقه مند باشید.

2- برموضوع درسی خود مسلط باشید.

3- بدانیدازچه راهی می توانید آنچه را درنظردارید،یاددهید.بهترین روش یاددادن راخودتان پیداکنید.

4- به چهره ی دانش آموزان خودنگاه کنیدتامتوجه انتظارهای آنها بشوید،دشواریهای آنهاراکشف کنید،توانایی این راداشته باشیدکه بتوانید خودتان رابه جای آنهابگذارید.

5- به آگاهی های خشک وعریان قناعت نکندوبکوشیدمهارت راکه لازمه عقل واندیشه است وعادت به کارمنظم رادردانش آموزان تقویت کنیدوتکامل بخشید.

6- بکوشدتاحدس زدن وپیش بینی کردن رابه آنان بیاموزید.

7- سعی کنیداثبات کردن رابه دانش آموزان یادبدهید.

8- درمسئله ای که طرح شده است،چیزی راجستجوکنید که برای حل مسئله های دیگرمفیداست.ازموقعیتی که مسئله ی مشخص مفروض دارد روش کلی راکشف کنید.

9- رازخودرابلافاصله فاش نکنید.اجازه بدهیددانش آموزان تاآنجاکه می توانند تلاش خودرابرای حل یاحدس راه حل به کاربرند،به دانش آموزان امکان بدهید هرچه بیشتر خودشان راکشف کنند.

10- بااشاره های خود دانش آموزان راراهنمایی کنیدولی عقیده ی خودرابه زور به آنها تحمیل نکنید.

استراتژی جورج پولیا در حل مساله

مطالب مشابه :

دانلود کتاب حل المسائل حساب دیفرانسیل و انتگرال جورج توماس و راس فینی

دانلود کتاب ریاضیات توماس و حل المسائل آن

لینک جزوات و کتاب های مربوط به رشته برق- قسمت اول

دانلود کتاب آنالیز ریاضی آپوستل

منابع ارشد ریاضی

دانلود رایگان نمونه سوالات دروس رشته ریاضی و آمار دانشگاه پیام نور نیمسال اول ۹۰-۸۹

منابع کنکور کارشناسی ارشد ریاضی دولتی و آزاد

استراتژی جورج پولیا در حل مساله