روش نیوتن در حل دستگاه معادلات جبری 1

اصول حل دستگاه معادلات غیر خطی به روش نیوتن هم مثل حل یک معادله است اما با این تفاوت که بجای مشتق معادله باید ژاکوبی دستگاه معادلات رو که در واقع دستگاه مشتقات جزئی معادلات بر حسب متغیرهاست رو محاسبه و استفاده کنیم.

برای حل تکراری معادلات، ابتدا یک حدس اولیه را در نظر می گیریم و سپس با استفاده از رابطه تکرار (رابطه زیر) حدس خود را بهبود می دهیم تا به نتیجه مورد نظر خود برسیم.

داریم

در اینجا x ها بردار هستند، از طرفی می دانیم که:

ماتریس ژاکوبی J را بصورت زیر تعریف می کنیم

با داشتن رابطه بالا روند تکراری حل معادله را بصورت زیر می نویسیم:

کد فرترن روش بالا را می توانید در آدرس زیر بیابید:

9.6 Newton-Raphson Method for Nonlinear Systems of Equations 372

این کد فرض می کند که شما ماتریس ژاکوبی را محاسبه نموده اید، در صورتیکه مشتق گیری و تشکیل ماتریس ژاکوبی دشوار باشد میتوانید آنرا بصورت عددی محاسبه نمایید، برای اینکار بخش زیر را ببینید:

9.7 Globally Convergent Methods for Nonlinear Systems of Equations 376

همچنین در کد بالا از تابع حل دستگاه معادلات خطی استفاده شده است و شما می توانید کد این تابع را در بخش زیر ببینید:

2.3 LU Decomposition and Its Applications 34

برای دیدن فیلهای بالا ممکن است لازم باشد پلاگین زیر را در دانلود کرده و در فولدر نصب Adobe acrobet کپی کنید.

http://www.nr.com/plugin/winapi/FileOpen.api

درصورتی که کد این بخش را با موفقیت نوشتید مرا هم مطلع نمایید تا کلی به شما افتخار کنم