آموزش ریاضی/انواع تابع




تصویر
تابع سینوسی

دید کلی

مقادیر یک کمیت متغیر غالبا به مقادیر کمیت متغیر دیگری بستگی دارد مثلا: فشار در دیگ بخار نیروگاه به دمای بخار بستگی دارد. آهنگ تخلیه آب از وان حمام ، وقتی در پوش وان را بر می‌داریم به ارتفاع آب وان بستگی دارد. مساحت دایره به شعاع بستگی دارد. در هر یک از این مثالها مقادیر یک کمیت متغیر مثل 134a04d9b4dab71047e869ecad01a637.png وابسته به مقدار کمیت متغیر دیگری است که می‌توانیم آن را d31b9ab65619dc0a054effb234c402f1.png بنامیم و چون در هر مورد مقدار 134a04d9b4dab71047e869ecad01a637.png توسط مقدار d31b9ab65619dc0a054effb234c402f1.png کاملا معین می‌شود می‌گوئیم 134a04d9b4dab71047e869ecad01a637.png تابعی از d31b9ab65619dc0a054effb234c402f1.png است.

تعریف

هر تابع از مجموعه‌ای چون 7a25b865e1eb8fc36b98cdd1baed692a.png به مجموعه‌ای چون c9a8bf09abb1952e857088ff6eaaf785.png ، قاعده‌ای است که به هر عنصر 7a25b865e1eb8fc36b98cdd1baed692a.png ، تک عنصری از c9a8bf09abb1952e857088ff6eaaf785.png را منسوب می‌کند.

بررسی از روی شکل هندسی

اگر بخواهیم به طور هندسی نموداری را بررسی می‌کنیم، آیا نمودار تابع هست یا نیست. به این ترتیب عمل می‌کنیم که به ازای هر خط موازی محور 134a04d9b4dab71047e869ecad01a637.png ها نمودار مورد نظر حداکثر در یک نقطه با خط رسم شده نقطه تلاقی داشته باشد یا به عبارت دیگر نموداری ، شکل تابع است که به ازای d31b9ab65619dc0a054effb234c402f1.png های یکسان ، 134a04d9b4dab71047e869ecad01a637.png های متفاوت نداشته باشد. مثلا تابع 4ee07bc0a10331a1db3c210efb02ba63.png را در نظر می‌گیریم که به ازای d31b9ab65619dc0a054effb234c402f1.png های متفاوت (e9fad9b65f5d8aa2d9ec9b328e8be767.png) یک 134a04d9b4dab71047e869ecad01a637.png دارد ولی نمودار 27f879917a9f30796e085b2931156be1.png به ازای d31b9ab65619dc0a054effb234c402f1.png های یکسان ، 134a04d9b4dab71047e869ecad01a637.png های متفاوتی دارد، بنابراین 27f879917a9f30796e085b2931156be1.png نمی‌تواند تابع باشد.



تصویر
تابع گاما

ساختمان یک تابع

توابع را از جهات مختلفی می‌توان مورد بررسی قرار دارد، مثلا می‌توان زوج یا فرد بودن ، جبری یا مثلثاتی بودن – متناوب یا نامتناوب بودن ، پیوسته یا ناپیوسته بودن و بسیاری از موارد دیگر که در این مجال نمی‌گنجد وجود دارد که می‌شود راجع به آنها در مورد توابع بحث نمود در این مقاله به تعدادی از این بحثها به اجمال خواهیم پرداخت:

توابع زوج و فرد

  • برای شناسایی یک تابع زوج از روی نمودار می‌توان گفت توابع زوج نسبت به محور 134a04d9b4dab71047e869ecad01a637.png ها متقارن هستند. و از روی خاصیت جبری می‌شود این گونه توصیف کرد که اگر 8e21bab376552fe573f53a0bdb691281.png را یک تابع زوج در نظر بگیریم برای آن به ازای هر d31b9ab65619dc0a054effb234c402f1.png که عنصر دامنه 8e21bab376552fe573f53a0bdb691281.png باشد: ede2aa480051b341082a3a946c8919c1.png مثل توابع 2e595d026d5b8fdbaddca5326d9ac363.png و 1a81488b196184083fe2cccac0f60e48.png که برای آنها b16fa3ac6b183c445fbca49e8e2cad04.png و 52ff55453fda77671a423af0bd29e325.png.

  • برای شناسایی تابع فرد از روی نمودار می‌توان گفت توابع فرد نسبت به که مبدأ مختصات متقارن هستند. در مورد خواص جبری ، برای توابع فرد این خاصیت جبری حاکم است که 42ca7613e77074ef0b4ae6884723cdba.png و 5bc15af7e9cb18078c7fcd9fceed9d5e.png یا 22f619a63cca3bfbf269bb3dd2abc52c.png که در آنها داریم:

1c7a5a1ba7ed8b603e2739321d9bc626.png
db7675400cf6e089ca92c007521d32ff.png
  • نکته: نمودار معادلاتی که صرفا شامل توانهای زوج d31b9ab65619dc0a054effb234c402f1.png باشد و نسبت به محور 134a04d9b4dab71047e869ecad01a637.png ها متقارن هستند را توابع زوج می‌گوئیم، اما قاعده متناظری برای توان فرد وجود ندارد.

توابع متناوب

تابع 8a652c9b3c4c2b62fa79490289f60e5d.png را متناوب گوییم هرگاه برای هر عضو دامنه آن مقداری ثابت و حقیقی مانند 99a6cceaca19df797729329d77276417.png یافت شود؛ به قسمی که اولا b3c92d743005414e5265dffcb4d07660.png عضو آن دامنه و ثانیا 0e8b32e70c51b9635b445b767d9616e7.png باشد. 66800c0208057e276ebce797bf0983d4.png را یک دوره تناوب تابع 8e21bab376552fe573f53a0bdb691281.png می‌گوئیم. به سادگی می‌توان دریافت که دوره تناوب یک تابع متناوب منحصر به فرد نیست. برای مثال تابع 71144d9f3132b91573205e579bd8e4de.png که c9a8bf09abb1952e857088ff6eaaf785.png تعریف شده است همه با دوره تناوب 94ea3e7f2b994ff57458f8aeade82ee8.png متناوب است هم با دوره تناوب ebadaf7fd47933204230673626a49813.png ، زیرا:


8b333b45daa896e145c3251bc4d6e4ce.png

خاصیت هندسی توابع متناوب

با توجه به تساوی 0e8b32e70c51b9635b445b767d9616e7.png نتیجه می‌گیریم که نمودار تابع متناوب در صورت جابجایی به یک بردار انتقال به اندازه 66800c0208057e276ebce797bf0983d4.png در هر جهت تغییر نمی‌کند.

یک به یک و پوشا بودن یک تابع

به طور کلی تابعی چون 272dcaedce7b1285e60c95e2b2974f3e.png را یک به یک گوئیم هرگاه به ازای هر عضوی از دامنه فقط و فقط یک عضو منحصر به فرد از برد ، جواب تابع باشد. و اگر بخواهیم از روی شکل تشخیص بدهیم، به ازای هر خط موازی محور d31b9ab65619dc0a054effb234c402f1.png ها ، خط زرسم شده نمودار را حداکثر در یک نقطه قطع کند. مثل نمودار 13d0fcf0be9f731ba0e506b6a17d0d3c.png.

تعریف پوشا بودن

تابعی مثل cb41163b0c9760831948e8640d6f71c5.png را روی دامنه‌اش پوشا می‌گوئیم هرگاه به ازای هر عضو از دامنه جوابی از برد موجود باشد. و برای تشخیص از روی نمودار ، به ازای هر خط موازی محصور d31b9ab65619dc0a054effb234c402f1.png ها ، تابع حداقل در یک نقطه قطع شود. البته دقت می‌کنیم که به ازای دو خط رسم شده باید خاصیت فوق ، برقرار باشد.

تابع قدر مطلق

قدر مطلق عددی مانند d31b9ab65619dc0a054effb234c402f1.png ، عدد ef1d40471e4d27c84fcc0dc1e267c5fc.png است. اگر d31b9ab65619dc0a054effb234c402f1.png مثبت باشد، قدر مطلق آن همان d31b9ab65619dc0a054effb234c402f1.png است ، ولی اگر d31b9ab65619dc0a054effb234c402f1.png منفی باشد، قدر مطلق آن cab7679b701b252b694885b8bce33916.png است. اگر 5687bee56de19cf17712965170d903af.png صفر باشد ، قدر مطلقش صفر است. نماد قدر مطلق d31b9ab65619dc0a054effb234c402f1.png به صورت f17bc31c425f831dd733858ce6e564d5.png است. اگر دقت کنید تابع قدر مطلق متشکل از خطوط 0fa07f2f77748c1bce5a3cc5a310e8b5.png و d39d4950de159b2dd153906151583ea4.png که به ترتیب برای 4050d5a45b8771b9c03e90956c02ef3b.png و 28f22c00f9822c97626f299ae9e1de6d.png انتخاب شده است، یعنی از خط 0fa07f2f77748c1bce5a3cc5a310e8b5.png قسمتی که d31b9ab65619dc0a054effb234c402f1.png های آن مثبت هستند و از خط d39d4950de159b2dd153906151583ea4.png قسمتهایی که d31b9ab65619dc0a054effb234c402f1.png های آن منفی هستند را انتخاب می‌کند.

تابع بزرگترین عدد صحیح یا جزء صحیح

بزرگترین عدد صحیحی که نابیشتر از عددی چون d31b9ab65619dc0a054effb234c402f1.png باشد، بزرگترین عدد صحیح موجود در d31b9ab65619dc0a054effb234c402f1.png نامیده می‌شود نماد آن ea5c854ea4db1cb5d1a6c93cb18c45f1.png است. تابعی مثل 8c3033e836eacf291fe4e2de64b50418.png دارای دامنه 00877bd756842dd870e9b8f1d95c4584.png و برد اعداد صحیح است. تابع جز صحیح یک تابع پله‌ای است. مدل بسیاری از چیزهایی که در اطراف خود می‌بینیم می‌توانیم به صورت پله‌ای در نظر گرفت، مثلا هزینه پست کردن بسته به صورت تابعی از وزن ، عملکرد چراغ چشمک زن به صورت تابعی از زمان ، تابع پله‌ای دارای نقاط ناپیوستگی هستند، یعنی که در آنها تابع از مقداری به مقدار دیگر می‌جهد بدون اینکه هیچ یک از مقادیر میانی را انتخاب کند.

تابع همانی

تابع همانی تابعی است که به هر عدد همان عدد را نسبت می‌دهد. یکی از کاربردهای تابع همانی ، آزمون توابع معکوس می‌باشد. به این ترتیب که اگر ca0bcf2930e53c8ffd95c6f9db10f2b8.png معکوس 8a652c9b3c4c2b62fa79490289f60e5d.png باشد ترکیب آنها تابع همانی خواهد بود.

توابع مثلثاتی

بسیاری از پدیده‌های طبیعی متناوب هستند؛ به این معنا که بعد از دوره معینی از زمان تکرار می‌شوند. چنین پدیده‌هایی را می‌توان به آسانی با توابع سینوسی و کسینوسی بررسی کرد. اگر توابع با 77c7b473c7de7859ef27de0baa5855f6.png آرایش یافته باشد به این دسته از توابع ، توابع مثلثاتی خواهیم گفت. یکی از خاصیتهای توابع مثلثاتی تناوبی بودن آنهاست؛ زیرا مثلا به ازای هر زاویه 198afcca468c1cd88cc9b0bd16fa184c.png داریم:


f62c8b5bf304cf8a11b0e3d6bd1e76d2.png
6f40001dd7900ee7825588a8923a1c8d.png

توابع چند جمله‌ای

جمله‌ای منفرد به صورت d6c2d4020fffa6341715af2f9d3b86a5.png را که در آن 2e16d6781472c499a730575839b4b4c7.png ثابت دلخواه و f120302f595acc3d7b0e4b5b7c4320d5.png عدد صحیح نامنفی است، یک تک جمله‌ای بر حسب d31b9ab65619dc0a054effb234c402f1.png می‌نامند. مجموع تعدادی متناهی تک جمله‌ای بر حسب d31b9ab65619dc0a054effb234c402f1.png یک چند جمله‌ای d31b9ab65619dc0a054effb234c402f1.png نام دارد.

توابع متعالی

امروزه ، تابعی چون 272dcaedce7b1285e60c95e2b2974f3e.png را متعالی می‌نامند اگر در معادله به صورت:


c0de4a9036f7c0657f5e05769e8db00e.png
که در آن ضرایب: daf26c28a003e5910082f2c02fef1f35.png ، ba5541ee09fcdd6a820b3a91e4d71437.png و ... و d0fca66748f3be6a8b55a8612f36351e.png چند جمله‌ایهایی بر حسب d31b9ab65619dc0a054effb234c402f1.png هستند ، صدق نکند. تابعی مثل 5ff0b0346cf04a032c1a0b57abc60c71.png که یکی از جوابهای 99602b07b88350ae192de18736662c66.png است 95d4f262d11e6851d3fdf385495a17f7.png، یکی از توابع موسوم به توابع متعالی است. نام "متعالی" را اویلر برای توصیف اعدادی انتخاب کرد که ریشه یک معادله چند جمله‌ای نیستند. اویلر می‌گوید که این اعداد متعالی از آنهایی هستند که روشهای جبری در موردشان کارساز باشد".


مطالب مشابه :


معرفی تابع قدر مطلق و خواص آن

در ریاضیات، قدر مطلق (Absolute Value) عددی حقیقی، مقدار عددی آن بدون در نظر گرفتن علامتش است.




ریاشی

تابع قدر مطلق و خواص قدر مطلق.




جلسه ی دوم (اعداد حقیقی - قدر مطلق - بازه ها)

ریاضیات مقدماتی و تخصصی - جلسه ی دوم (اعداد حقیقی - قدر مطلق - بازه ها) - مهدی مفیدی احمدی




فضیلت و خواص سوره قدر

سلوک عرفای اسلامی - فضیلت و خواص سوره قدر وب سایت حجت الاسلام سید عباس موسوی مطلق.




دنباله و همگرایی

بوضوح n ای که معرفی کردیم عدی طبیعی است و همچنین بنابر خواص جز همچنین بنا به خواص قدر مطلق




توپولوژی با طعم ریاضیات ...

اين اعمال با خواص معين، R را به عنوان گروه، حلقه و (به عنوان نمونه R با متر قدر مطلق يعني| d




انواع تابع

در مورد خواص جبری ، برای توابع فرد این خاصیت جبری حاکم قدر مطلق عددی مانند x، عدد است.




دنباله وهمگراي

بوضوح n ای که معرفی کردیم عدی طبیعی است و همچنین بنابر خواص جز همچنین بنا به خواص قدر مطلق




آموزش ریاضی/انواع تابع

در مورد خواص جبری ، برای توابع فرد این خاصیت جبری حاکم است که و یا که در آنها تابع قدر مطلق




دانلود جزوه کامل ریاضی رشته تجربی

مشتق تابع قدر مطلقی اکسترمم های مطلق خواص مشترک اکسترمم نسبی و عطف




برچسب :