سفسطه های هندسی ابتدایی/Geometric fallacy

هرزمان وهرجا نامی از اقلیدس به میان آید، همیشه هندسه وکتاب مقدمات هندسه ی او به خاطرمی آید.جای شگفتی است که بیشتر گمان می رود اقلیدس، تنها پیرامون هندسه به کار پرداخته ومقدمات هم تنها کتاب او بوده است.درحا لی که این هندسه دان یونا ن با ستان، درباره ی موسیقی و رشته ها ی دیگر فیزیک نیز آثاری داشته که به دوازده کتا ب و رساله می رسیده اند. باگذشت زمان ، برخی از آنها بطور کلی نیست و نابود شده اند وبرخی دیگر که از گزند روزگار مصون مانده اند ، تنها پنج اثر می باشند که به د ست ما رسیده اند. ازمیان کتب از د ست رفته می توان پسوداریا (Pseudaria) را نام برد . از اسم کتا ب بر می آید که مجموعه ای از سفسطه های هندسی را در بر می گرفته است.گمان می رود، این کتاب، استدلالهای نادرستی را مورد بحث قرار داده باشد که منتج به قضایای نادرست می شوند وبه آسانی اشتباه خود را آشکار نمی کنند.

از زمان اقلیدس تا کنون نیز صدها سفسطه ی هندسی انتشار یافته که در برخی از آنها خطاهای پنهانی و زیرکانه به کار رفته و در پاره ای دیگر، افکار و اندیشه های کارساز.

در اینجا چهارنمونه از این سفسطه ها را می آوریم که بهترین قضیه های نادرست را در بر می گیرند.این قضا یا به دانشی بیش از هندسه ی مقدماتی مسطحه نیازی ندارند و چه بسا در پسوداریا ی اقلیدس نیز آمده اند.

هر مثلثی متساوی الساقین است:

این امر نا ممکن و شگفت انگیز از کتاب تصویر لوئیز کا رول گرفته شده است.کارول،این قضیه رابه احتمال زیاد، برای اولین بار در سال 1882 منتشر کرده بود.او،این قضیه را با مهارتی خاص در کتابش به اثبات رسانده است.

صورت مساله:

مثلث نا مشخص ABC را در نظر می گیریم.DE عمود منصف ضلع BC را رسم می کنیم.نیمساز زاویه ی A را نیز رسم می کنیم.دوحالت پیش می آید:

1) ممکن است نیمساز،عمود منصف را قطع نکند.دراین صورت با آن موازی ودر نتیجه بر BC عمود خواهد بود؛ یعنی نیمساز A بر ارتفاع مثلث منطبق می شود،واین، تنهادرمثلث متساوی الساقین است که نیمساز زاویه ی بین دو ساق، بر ارتفاع واقع است.

2) در حالتی که نیمساز زاویه ی A ، خط DE را در نقطه ای مثل F قطع کند . در این صورت از نقطه ی F ، خطهای راست FB و FC رارسم می کنیم،همچنین از نقطه ی F دوخط FG و FH را به ترتیب عمود بر AC و AB می کشیم.

دراین جا ، دومثلث قائم الزاویه ی AFG و AFH برابرند ، زیرا در ضلع AF مشترک هستند و زوایا ی FAG و

AGF به ترتیب با زاویه های FAH و AHF برابرند و در نتیجه: AH=AG و FH=FG .

دو مثلث قائم الزاویه ی BDF و CDF نیز با هم برابرند ؛ زیرا ، BD=DC و ضلع DF بین آنها مشترک و د و

زاویه قائمه ی D نیز برابرند؛ پس، FB=FC .

در مثلث قائم الزاویه ی FHB داریم:مربع وتر FB مساوی است با مجموع مربعات دو ضلع FH و HB .درمثلث FGC نیز داریم:مربع FC برابر است با مجموع مربعات دوضلع FG و GC .

واما FB=FC و FH=FG، بنابراین مربع HB مساوی است با مربع GC ویا اینکه HB=GC . ونیز چون ثابت کردیم AH=AG، بنابراین نتیجه می شود AB=AC .یعنی مثلث ABC همیشه متساوی الساقین است.

بنابر این هر مثلث نا مشخصی مانند ABC همیشه متساوی الساقین است.

▼

◄ عدد پی برابر است با دو.(2=π)

شکل زیر بر پایه ی نماد مشهوری از شرق،به نام یین- یانگ طراحی شده است.بخش سیاه آن را Yin و بخش سفید را Yang می نامند.این،علامت مذهبی چین باستان بوده است.

اگر در این شکل، قطر AB مساوی 2 فرض شود ، پیرامون دایره ی بزرگ مساوی دوپی و نیمی از آن؛ یعنی طول

نیم دایره ی بزرگ، از A تا B مساوی پی می شود.

منحنی موج دار داخلی، که یین را از یانگ جدامی کند،عبارت است از دونیم دایره، هریک به قطر نصف AB یعنی 2/2 و از آن جا طول مجموع محیط های دونیم دایره ی داخلی ، از A تا B مساوی پی می شود ؛ منحنی موج دار کوچکتر که داخل منحنی پیشین قرار گرفته، شامل چهار نیم دایره، هریک به قطر 4/1 طول AB ؛ یعنی 4/2 خواهد بود و از آنجا طول مجموع منحنی ها از A تا B باز هم مساوی پی خواهد بود. شمار نیم دایره های موجی شکل پس

از آنها هم ، که روی AB قرارگرفته اند ، هشت وقطر هریک ،8 /1 طول AB و طول مجموع تمام هشت نیم دایره ،

از A تا B، بازهم مساوی پی خواهد شد.هر آنچه این کار دنبا ل شود ، درحالی که ، نیم دایره ها کوچکتروکوچکتروشمار آنها بیشتر وبیشتر می شود،ولی طول مجموع آنها (از A تا B) همواره مساوی پی ، ثا بت

می ماند. در حد نیز آنحا که شعاع هریک از نیم دایره ها به صفر نزدیک می شود وهمه ی آنها بر قطر AB منطبق می شوند،بازهم طول مجموع آنها ثابت وبرابر پی خواهد بود. در این حالت نهایی که مجموع محیط های نیم دایره های برابر با پی، بر قطر AB به طول 2 منطبق می شوند، لازم می آید که پی برابر 2 باشد.

▼

◄زاویه ی منفرجه برابر با زاویه ی قائمه است.

تصویر بالا نیز از کتاب" تصویر لوئیز کارول" برداشته شده است.و یکی از قضیه های مورد علاقه ی او بشمار می رفته است.

صورت مساله:

مربع ABCD را درنظرمی گیریم، از نقطه ی E،وسط ضلع AB، عمودی خارج می کنیم تا DC را درنقطه ی F

قطع کند.بنابراین،DF برابرFC خواهد شد.

پاره خط CG برابرCB را از نقطه ی C به دلخواه رسم می کنیم.از A به G وصل وازH ،وسط AG ،عمود HK را اخراج می کنیم.چون AB و AG ناموازی اند،پس EF و HK نیز با هم موازی نخواهند بود و در نقطه ای مثل F یکدیگر را قطع خواهند کرد.از نقطه ی برخورد، خطوط راست KD,KA,KG,KC را رسم می کنیم.

دومثلث KAH وKGH برابرند،چون AH=HG و HK در هر دو مشترک است وزاویه ی H قائمه است.بنابراین

KA=KG .

دومثلث KCF وKDFنیز برابرند،چون DF=FC وFKدرهر دو مشترک و زاویه ی F قائمه است.پس KD=KC

و زاویه ی KDC برابر است با زاویه ی KDC و چون داریم DA=CB=CG .بنابراین دومثلث KDA و KCG

درهر سه ضلع برابر می شوند، پس این دو مثلث باهم برابرند و زاویه ی KDA با زاویه ی KCG نیز برابر خواهند بود.از این دو زاویه، دو زاویه ی برابر KDC و KCD را کسر می کنیم، باقی مانده ها باز هم برابرخواهند شد؛ یعنی زاویه ی GCD برابر زاویه ی ADC می شود.اما GCD یک زاویه ی منفرجه است و ADC یک زاویه ی قائمه.

بنابراین می بینیم که :زاویه ی منفرجه برابر زاویه ی قا ئمه خواهد بود.

◄هر چهارضلعی که دارای دو زاویه ی متقابل برابر و دو ضلع متقابل برابر باشد، متوازی الاضلاع است.

در اکتبر 1959 هاسلی از لندن، این سفسطه ی ظریف را در مجله ی رسمی ریاضی منتشرکرد.فرض بر این است که درچهارضلعی ABCD، زاویه هایA وCمساوی و دو ضلع AB وCDنیز برابرند.ثابت می کنیم که این چهارضلعی متوازی الاضلاع است. (شکل 3)

روی چهارضلعی مفروض،خط راستBX را عمود برAD وخط راست DY را عمود بر ضلع BC می کشیمو سپس B را به D وصل می کنیم.

دو مثلث قائم الزاوه ی ABX و CYD،برابرند؛زیرا بنا بر فرض،در وتر ویک زاویه ی حاده برابرند.نتیجه می گیریم که BX برابرDY و همچنین AX برابرCY است.

دومثلث قائم الزاویه ی BXD وDYBنیز برابرند؛زیرا BX مساوی DY و وترDB در هر دو مشترک است.پس XD وYBبرابر می شوند.

چون AX=CY و XD=YB ،پس AX+XD=CY+YB .یعنی AD=CB و چون بنا بر فرض داشتیم AB=CD ،پس اضلاع متقابل این چهارضلعی دوبدو با هم مساوی می شوند؛بنابراین ABCD باید متوازی الاضلاع باشد.

در اینجافگرچه استدلال کاملا ًمجاب کننده است،ولی نتیجه اش نادرست است و چنین قضیه ی نادرستی،همیشه زائیده

خطایی پنهانی است که در جایی از استدلال ،خود را مخفی ساخته.باید خطای پنهانی استدلال را جست و جو کرد.

▼

◄در پایان،به بررسی نکات اشتباه آمیزی که در استدلال قضایای بالا آمده است،می پردازیم:

1) هر مثلثی متساوی الساقین است.

نکته ی فریب آمیز در مورد این قضیه،به ساختار شکل وابسته است.کشیدن شکلی مانند شکل1 ناممکن است.با شرایط موجود در مساله،نقطه ی F همواره خارج از مثلث قرار می گیرد و در مکانی واقع می شود که وقتی از نقطه ی F عمودهایی بر اضلاع AB و AC فرود می آوریم،یکی از این عمودها، یکی از اضلاع مثلث را قطع خواهد کرد و دیگری،امتداد ضلع دیگر را.در این صورت،استدلال به آن طریق را نمی توان پذیرفت.

2) π = 2

این درست است که هرچه نیمدایره ها کوچکتر شوند،شعاع آنها در حد به سمت صفر میل می کند و در نتیجه خط موجدار می تواند تا حد دلخواه به قطر دایره ی بزرگ نزدیک شود.در هر حال،هیچ وقتنیمدایره ها شکل اصلی خود را از دست نمی دهند.از آنجا که این ویژگی همواره حفظ می شود و نیمدایره ها،همیشه نیمدایره باقی می مانند،هر اندازه هم که کوچک باشند،طول مجموعشان همیشه مساوی π باقی می ماند.این مساله از مواردی است که به خوبی نشان می دهد عنصرهای یک رشته ی نامحدود متناوب،ممکن است ویژگی های خود را که چیزی غیر از ویژگی های آنها درحد می باشد،تا آخر از دست ندهد.

3) زاویه ی منفرجه برابر با زاویه ی قائمه است.

اگر به شیوه ی استدلال توجه بیشتری کنیم،می بینیم که فریبکاری با نقطه ی K آغاز شده است.اگر شکل را به درستی بکشیم،نقطه ی K به نحوی زیر خط DC قرار می گیرد که وقتی G و K را به یکدیگر وصل می کنیم،خط KG همواره خارج از مربع اصلی ABCD واقع می شود و هیچ وقت مربع را قطع نخواهد کرد.تناقض قضیه هم خود، دلیل بر ابن است که خط راست KG نباید مربع را قطع بکند.همین اشتباه در پیدا کردن محل درست نقطه ی K ، کافی است که استدلال را پوچ و غیر قابل قبول کند.

4) هر چهار ضلعی که دارای دو زاویه ی متقابل برابر و دو ضلع متقابل برابر باشد،متوازی الاضلاع است.

با شرایط بالا،وقتی چهارضلعی متوازی الاضلاع خواهد بود که یا X و Y هریک به تنهایی روی ضلع های چهار ضلعی قرار گیرند و یا اینکه X و Yهریک به تنهایی روی امتداد هر یک از اضلاع قرار گیرند. ولی در حالتی که مثل شکل 5 پیش می آید و X روی یک ضلع وYروی امتداد ضلع دیگر قرار می گیرد-باوجودی که شرایط قضیه حفظ شده-اثبات اینکه ABCD متوازی الاضلاع باشد ناممکن می شود.این خود می رساند که شرایط قضیه لازم هست ولی کافی نیست.

سفسطه های هندسی ابتدایی/Geometric fallacy

مطالب مشابه :

قضایای متفرقه چند جمله ای ها

مقاله ها و نکات کوتاه و بلند ریاضی

قضیه ی دزارگ

آشنایی با جبر از مقدماتی تا پیشرفته

/تجربی ها و تهدید!!!/ سرشماری 6 /یک آدم فضایی/ک مثل کاوالیری/هندسه 1/ جواب مساله+تشکر/

اصل کاوالیری

مساحت کاوالیری

سفسطه های هندسی ابتدایی/Geometric fallacy

نویسنده مهمان : لادن