نکات آموزشی تابع نمایی ولگاریتم

بسمه تعالي

نكات كمك آموزشي تابع نمايي وتابع لگاريتم رياضي2

تابع نمايي: به توابعي باضابطه ي f(x)=ax كه درآنa ،عددي مثبت ومخالف صفر است ،تابع نمايي گوييم (به وضوح ميتوان ديد تابع نمايي كه تابعي همواره مثبت است .

نمودار تابع y=ax باشرط 1 <a به صورت روبه رو است :

ونمودار تابع y=ax با شرط 1 > a > 0 به صورت مقابل مي باشد.

نكته :صعود ونزول در توابع نمايي

1) در تابع y=ax با شرط 1 < a ،با افزايش x، مقدار تابع هم زياد مي شود

مثال - براي تابع x 2 = y داريم :

2) در تابع y=ax با شرط 1 >a > 0 با افزايش مقدار x ، مقدار تابع كم مي شود

مثال – براي تابع داريم: 15 <17

دامنه وبرد توابع نمايي:

درتابع نمايي f(x)=ax ، x هرمقدار حقيقي مي تواند باشدوبا توجه به نمودار به وضوح مقدار تابع هر عدد حقيقي مثبت مي تواند باشد پس دامنه وبرد : و

به طور مثال برد تابع 1 y= 2x+1+ خواهد شد:

1<y 1 < 1+ x+1 2 0< x+1 2 0< x 2

نامساوي ميانگين هندسي وحسابي : دونامساوي زير كه به نامساوي ميانگين حسابي وهندسي مشهور هستند در محاسبه برد توابع نمايي كاربرد زيادي دارند .

2 ≤a + b 0≤bو0≤a (1

2- ≥ a+b 0≥b و 0 ≥ a (2

مثال: برد تابع –x+3 2 + x+1 2 = f(x) راحساب كنيد.

( و8]= 2≤ -x+32 + x+1 2

تعريف لگاريتم : تابع نمايي xa =y يك تابع يك به يك است بنابراين وارون پذير است .وارون اين تابع ، تابع لگاريتم نام دارد وبه صورت مي باشد.

نكته: چون لگاريتم يك تابع يك به يك است داريم:

قانون تغيير مبنا: يكي از قوانين مفيد لگاريتم قانون تغيير مبنا ست .

نتيجه1: درحالت خاص 10=c به تساوي مي رسيم.

نتيجه2: با استفاده از نتيجه 1 داريم:

نتيجه3: با تركيب قانون ونتيجه 1 به دست مي آوريم:

مثال: مقدار را حساب كنيد.

نكته: مي دانيم اگر آن گاه b = xa با جای گذاری مقدار اولیه x در تساوی دوم به دست

می آوریم.

مثال:

نمودار تابع لگاریتم

1 ) حالت اول مبنای بزرگتر از یک باشد. ( 1 < a )

2) مبنا بین صفر ویک باشد . ( 1 > a > 0 )

در هر دو حالت نمودار تابع با توجه به این واقعیت به دست می آید که تابع لگاریتم وارون تابع نمایی است ونمودار آن

قرینه ی نمودار تابع نمایی نسبت به نیمساز ربع اول وسوم است.

دو نکته ی مهم در قوانین لگاریتم :

(2 ( 1

تابع نمايي طبيعي:

تابع تابع نمايي طبيعي گفته مي شودكه وارون آن تابع f(x)=lnx به ازاي1 x= داراي مقدار صفر است.

به طور يكنوا به سمت بينهايت صعود مي كند ولي شيب آن ، ،تابعي نزولي است، وبه ازاي مقادير مثبت x

كه كوچكتر از 1 باشند ، lnx منفي وln است، بنابر اين وقتي ، lnx به سمت بي نهايت منفي مي رود

به علت يكنوايي y=lnx مي توانيم تابع وارون x=E(y) رادر نظر بگيريم كه نمودارش (شكل 2) به طريق معمول از نمودار y=lnx به دست مي آيد (شكل 1) ،و به ازاي همه مقاديرy بين تعريف مي شود.وقتيy به مي گرايدمقدار E(y) به صفر ميل مي كند ،و وقتي y به مي گرايد E(y) به ميل

مي كند.

y=logx x=E(y)

شكل (1) شكل (2)

تابع E ويژگي بنيادي زير را دارد :به ازاي هرجفت از مقدارهاي a,b داريم: E(a).E(b)=E(a+b)

اگر قرار دهيم: E(A)=z ,E(b)=x ( يعني (a=lnz , b=lnx داريم:

Lnx+lnz = b+a Ln xz=

وبنابراين E(b+a)= xz = E(a ).E(b) است.چون بنا به تعريف داريم 1 = ln e پس: e = (1 ) E و

( 2 ) E = (2 ) E ( 1 ) E = 2e وغيره. به طور كلي به ازاي هر عدد صحيح n : ne = ( n ) E همين طور ،در نتيجه ؛ از اين رو با قرار دادن به ازاي هر عدد گوياي r داريم : re = ( r ) E پس مناسب است توان گنگ عدد e را با قرار دادن ey=E(y) به ازاي هر عددحقيقي y تعريف كنيم زيرا تابعE به ازاي همه مقدارهاي y پيوسته است وبه ازاي y هاي گويا با مقدار ye

يكسان است. حال مي توانيم قانون بنيادي در مورد تابع E يا ،چنان كه معروف است،تابع نمايي را با رابطه :

a+b e = bea e

بيان كنيم كه براي مقادير گنگ ياگوياي دلخواه a,b برقرار است.

در همه ي اين بحثها لگاريتم وتابع نمايي را به عدد e مربوط ساخته ايم يعني e را" پايه" يا "پايه طبيعي " لگاريتم گرفته ايم .گذار از پايه e به هر عدد مثبت ديگر به آساني انجام مي شود . براي اين كار ،نخست با در نظر گرفتن لگاريتم (طبيعي ) : داريم : سپس را با عبارت مركب

تعريف مي كنيم .مثلاً 10 xlne = x 10 تابع وارون xa را لگاريتم در پايه a مي ناميم وفوراً ملاحظه مي كنيم كه لگاريتم طبيعي z برابر است با x ضربدر ؛ به عبارت ديگر ، لگاريتم هر عدد z در پايه a با تقسيم لگاريتم طبيعي ثابت a به دست مي آيد . به ازاي 10 = a ، اين عدد ثابت (تا چهار رقم معني دار) برابر است با : 303/2 = 10 ln

نکات آموزشی تابع نمایی ولگاریتم

مطالب مشابه :

نمونه سوال لگاریتم

نمونه سوالات لگاریتم تستی

سوالات کنکور برای لگاریتم و توابع درجه 2

نکات آموزشی تابع نمایی ولگاریتم

لگاریتم

اعلام نفرات برتر المپیاد ریاضیات (مبحث لگاریتم)