مروری بر ریاضیات بابلی و مصری

ریاضیات بابلی

منظور از ریاضیات بابلی ریاضیاتی است که در بین قومهای سرزمین بین النهرین (قوم بابلی ,اکریها,سومری,...)وجود داشته است. باستان شناسانی که در بین النهرین کار میکنند از قبل از اواسط قرن 19م تا کنون حدود 500000 لوح سفالی منقوش را بطور منظم از زیر خاک بیرون کشیده اند که 50000 هزارلوح فقط از شهر باستانی نیپور بوده است که در موزه های بزرگ پاریس برلین لندن و دانشگاههای ییل کلمبیا و پنسیلوانیا موجود است.

ابعاد این لوحها از چند اینچ تا به ابعاد یک کتاب و به ضخامت تقریبا 5/1 اینچ می باشند گاهی نوشته ها در یک طرف یا دو طرف ویا بر لبه های پخ لوحها می باشد.

از این 500000 لوح تقریبا 300 لوح صرفا در مورد ریاضیات می باشد که شامل:جداول و سیاهه هایی ازمسائل ریاضی می باشد که دانش به دست آمده از آنها رامدیون کشف رمز وتفسیرفاضلانه عده بسیاری ازدانشمندان این رشته است.

تا پیش از سال 1800 کوشش برای کشف رمز خط میخی نشده بود و در این سال کتیبه هایی از بیستون دهکدهای در شمال غرب ایران توسط عده ای مسافر اروپایی کشف شد و معمای این کتیبه ها توسط سرهنری کرسویک رالینسون دیپلمات و آشورشناس کشف شد و این رمزگشایی ها کم کم توسط دیگران نیز کامل شد و کم کم توانایی لازم برای خواندن خط و متون میخی و لوحهای بابلی بوجود آمد که این لوحها از دوره 2100 ق.م تا 300ب.م قدمت داشتند.

"" از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد:

نکته‌های اصلی کتیبه بیستون از این قرار است: معرفی داریوش از زبان خود او، دودمان هخامنشی، چگونگی اعاده پادشاهی به هخامنشیان، شیوه حکومت داریوش، مرگ کمبوجیه، طغیان گئوماتا و کشته شدن او در پاییز ۵۲۲ ق م، شورش و طغیان در بسیاری از سرزمین‌ها و سرکوبی آن‌ها و اعاده نواحی بسیاری که از فرمانبرداری سر باز زده بودند، پیروزی‌هایی که در نوزده نبرد نصیب داریوش شده‌است و از جمله پیروزی مهم و دشوار بر سکاها، چگونگی استقرار آرامش و امنیت در امپراتوری پهناور، رد ادعاهای یاغیان ضدحکومت، هشدار نسبت به دروغگویی، دفاع از راستی و راستگویی، دعای نیک در حق کشور و مردم، سپاسگزاری داریوش از یاریهای اهورامزدا در غلبه بر معارضان و بازگشتن صلح، اندرز به شاهان آینده و کسانی که کتیبه بیستون را می‌خوانند، نام کسانی که در غلبه بر گئوماتا از داریوش پشتیبانی کردند و اشاره به انتشار متن کتیبه در سراسر قلمرو هخامنشی به خط میخی و سه زبان پارسی باستان، بابلی و ایلامی. این کتیبه‌ها کلید کشف رمز کلیهٔ خطوط میخی گردید. به ویژه «سر هـ. رالینسون» در این موفقیت سهمی بسزا دارد.""

ریاضیات بازرگانی

حتی قدیمی ترین لوحها نشان ازمهارت درمحاسبه درسطحی عالی داشته وباکلیه قرارداد هارسمی وغیر رسمی مانندصورتحساب رسید سفته رهن قباله وضمانت آشنا بوده اند.

بسیاری از عملیاتهای حسابی به کمک جداول مختلف انجام می گرفته واز این 300لوح ریاضی 200لوح به صورت جدولی بوده اند لوح هایی مانند جدولی, جداول ضرب, جداول عکس, جداول مربعات ومکعبات وحتی بصورت توان رانشان می دهند.

تقویم مورد استفاده با بابلیها باتوجه به این مدارک بدست آمده ازهزاره چهارم وپنجم قبل ازمیلاد بوده است.

هندسه بابلی

●هندسه بابلی پیوند نزدیکی با مساحی عملی دارد. بابلیها از 2000 تا 1600 ق.م با قواعد کلی محاسبه مساحت مستطیل, مثلث قائم الزاویه ومتساوی الساقین ذوزنقه و حجم مکعب مستطیل و حجم منشور قائم که قاعده آن ذوزنقه خاصی است آشنا بودند.

●آنها حجم مخروط ناقص یا هرم مربع القاعده را به غلط بصورت حاصل ضرب ارتفاع در نصف مجموع مساحت قاعده ها می پنداشتند.

●آنها حتی تناسب بین اضلاع متناظر دو مثلث قائم الزاویه ی متشابه , عمود رسم شده از رأس مثلث متساوی الساقین قاعده را نصف می کند , زاویه محاط در یک نیم دایره قائمه است , قضیه فیثاغورس را هم می دانستند .

●مساحت ومحیط دایره - محیط دایره سه برابرقطر و مساحت آن یک دوازدهم مجذور محیط گرفته می شده است. آنها عدد ثابت پی را برابر 3 در نظر می گرفتند.

●لوح نو یافته ای وجود دارد که در آن عدد پی را 3 بکار مبردند.

●جنبه عمده هندسه بابلی در ماهیت جبری بوده است که منجر به حل معادلات درجه دو و درجه سه شده است و تقسیم محیط دایره را به 360 جزء را مدیون بابلیهای عهد باستان هستیم.

●بابلی ها برای فاصله های دور از واحدی به نام میل استفاده می کردند که تقریبا معادل 7مایل امروزی

بالطبع بایستی زمان لازم برای پیمودن یک میل محاسبه می شده و در هزاره ی اول قبل میلاد وقتی که

سوابق پدیده های سماوی ثبت و نگهداری میشده میل زمانی مورد پذیرش واقع شد ودیدند که یک شبانه

روز 12 میل زمانی است و یک شبانه روز معادل یک چرخش کامل آسمان است و میل بابلی ها به 30

جزء مساوی تقسیم شده بود که (12)(30)=360 جزء برای یک دور کامل . این نمایانگر این است که

تقسیم محیط دایره به 360 جزء را مدیون بابلی ها هستیم.

جبر

تا سال 2000 ق.م. نه تنها معادلات درجه دو با روشی معادل جایگزینی در یک فرمول کلی ، و راه مربع کامل کردن توسط آنها حل شده بود بلکه معادلات درجه سه و چهار نیز مورد بحث آنها قرار گرفته بود.

●یک لوح بابلی کشف شده است که مقادیر + را به ازای n=1,2,…,30 میدهد. این مقادیر نشان این مطلب است که آنها با حل معادلات درجه 2 و 3 آشنا بودند.

●باز به عنوان مثال در زیر چند مسئله آورده می شود که صدها مسئله مانند آن در لوحها به صورت حل نشده ذکر شده و این مسائل شامل دستگاه معادلاتی هستند که حل آنها منجر به معادلات دو مجذوری می شود .

●در یک مسئله بابلی ضلع مربعی خواسته می شود هرگاه مساحت مربع منهای اندازه ضلع آن (در دستگاه شصتگانی) عدد 14,30 باشد که منجر به حل معادله درجه2 بصورت 14,30= + می شود

●نوگه باوئر دو مسئله ی جالب در مورد سریها یافته مربوط به 300 ق.م. در موزه ی لوور پیدا کرده است که در زیر یکی از آنها بیان می شود :

1+2+ +000+ + -1

●بابلی ها ، تقریبهای جالب توجهی برای و داشتند و آنها را بصورت و نشان میدادند.

لوح پلیمپتن 322

از جمله لوح هایی که بسیار مورد توجه متخصصین قرار گرفته معروف به پلیمپتن 322 است که قدمتی بین 1900 تا 1600 ق.م. دارد . ابعاد این لوح 13*9*2 سانتیمتر می باشد وبه خط بابلی قدیم نوشته شده است. که متاسفانه این لوح دچار شکسته گی و قسمتی از آن گم شده و دارای یک لب پریدگی عمیق می باشد. و تفسیر این لوح با وجود مفقود بودن دو قسمت از این لوح توسط نوگه باوئر و زاکس در سال 1945 انجام شده است. هم کنون این لوح در دانشگاه کلمبیا قرار دارد.

این لوح شامل سه ستون کامل اعداد و همچنین این لوح دارای یک ستون چهارمی در امتداد لبه شکسته است که بخشی از آن ناقص می باشد.

یکی از این ستون ها آنگونه که نشان می دهد صرفا برای شمارش سطرها به کار رفته است. در نگاه اول بنظر میرسد که دو ستون بعدی ترتیب چندان معنا دار و مشخصی ندارند و ضمن مطالعه معلوم میشود اعداد متناظر در این ستونها تشکیل وتر و ساق قائم الزاویه ای را می دهند که اضلاع آن مقادیر صحیحی دارند (بجز در 4 مورد استثنایی). یکی از عللی که موجب به وجود آمدن این استثنا ها شده احتمالا لغزش قلم در نوشتن می باشد .( اعداد لوح در دستگاه شصتگانی می باشد) .

به سه تایی هایی مثل(3،4،5)که هیچ عامل مشترکی جز واحد ندارند سه تایی فیثاغورسی اولیه گفته می شود و به سه تایی هایی مثل(10،4،8)که عامل مشترک دارند چنین نمی گویند.

یکی از دستاوردهای ریاضی هزاره ی بعد از زمان لوح پلیمپتن این بوده که سه تایی های فیثاغورسی که بصورت

(a,b,c) تعریف شد به صورت سه تایی اولیه و بصورت پارامتری زیر است:

a=2uv , b= - , c= +

در آن U&V نسبت به هم اولند و دارای زوجیت متفاوت هستند و U>V .

در ستون چهارم که تقریبا نیمی از آن از بین رفته اعدادی هستند که مربع تقسیم c بر a است . که در واقع اینها برابر است با مجذور سکانت زاویه ی مقابل به ضلع b (sec B ) از مثلث قائم الزاویه ، که این مقادیر دنباله ای را تشکیل

می دهند با نظمی شگرف ، که هر سطر به سطر بعدی کاهش می یابد و زاویه ی متناظر از 45 به 31 تنزل می کند ،مطلبی که باید مورد توجه قرار بگیرد این است که این ها برای مثلث هایی با اضلاع صحیح است. بدین ترتیب یک جدول سکانت برای زوایای 45 تا 31 درجه در دست داریم که به کمک مثلثهای قائم الزاویه با اضلاع صحیح ساخته شده است.

بنابراین میتوان نتیجه گرفت که برای زوایای 30 تا 15 درجه و 15 تا 1 درجهنیز چنین جدولی وجود داشته است.

تجزیه و تحلیل لوح پلیمپتن لزوم توجه دقیق به برخی از لوحهای ریاضی بابلی را معطوف میکند. سابقا ممکن بود که چنین لوحی به تصور اینکه صرفا یک فهرست یا سند بازرگانی است با بی توجهی کنار بگذارند.

هنوز در مورد این لوح دو سوال مطرح است :

1-آیا این لوح صرفا جهت تدریس بکار میرفته؟ 2-یا اینکه این لوح یک پروژه تحقیقاتی بوده است؟

مصر

بر خلاف تصور عموم ,ریاضیات بابل خیلی پیشرفته بوده و مصر نتوانست به آن سطح از پیشرفت برسد . شاید این امر معلول توسعه و پیشرفت اقتصادی بابل بوده است چرا که بابل برسر راه تعدادی جاده های کاروان رو بزرگ قرار داشت درحالی که مصر چنین نبود.

مصریان بخاطر احترامی که برای مردگان خود قائل بودند آنها را در بناهای بزرگ و پر از نقش ونگار دفن میکردند و پاپیروسها و اشیاء وسندهای زیادی که به علت هوای خشک آنجا سالم مانده بودند بدست باستان شناسان بیرون کشیده شدند و مردم پی به سطح علمی آنها بردند.

ولی بعد از آنکه لوحهای ریاضی زیادی از بابلیان در این اواخر رمزگشایی و ترجمه شد همگان به دانشی بالاتر از سطح مصریان برای بابلیان پی قائل شدند .

در زیر به صورت لیست وار نمونه های برجسته مطالب ریاضیات مصر باستان آورده می شود :

1- 3100 ق.م. گرز سلطنتی که اعداد از مرتبه ی میلیون بر روی آن نقش بسته بود .

2- 2900 ق.م. هرم بزرگ جیزه ، این بنا بی شک نیازمند مهندسی قوی بوده ، آن مشتمل بر 2000000 قطعه سنگ با متوسط وزن برابر 2.5 تن و حتی بعضی از این اطاق ها سقفشان از سنگهایی به وزن 54 تن وبه طول 27 فوت و ضخامت 4 فوت است ، این سنگها از آن طرف رود نیل آورده می شده و در ارتفاع 200 فوتی نسب می شده و قابل توجه این که خطای نسبی در قاعده ی مربع شکل آن 14000/1 و در زوایای قائمه آن 27000/1 است و این بنا بوسیله ی 100000 نفر به مدت 20 سال ساخته شده است . هر ضلع هرم بزرگ جیزه 230 متر و ارتفاع آن 146 متر است. وزن کل هرم 6.5 میلیون تن است.

3- 1850 ق.م. پاپیروس مسکو و که در آن مسائل ریاضی مشتمل بر 25مسئله نوشته شده است وابعاد آن 54 در 7.5 سانتیمتر ودر موزه مسکو نگهداری می شود.

4- 1850 ق.م. وسیله ی نجومی شامل یک شاقول و میله ی دید گری است.

5- 1650 ق.م. پاپیروس ریند (احمس)که متن ریاضی آن ماهیت راهنما را دارد و شامل 85 مسئله ریاضی به زبان هیراتی است و از روی یک اثر قدیمی تر توسط احمس کاتب نسخه برداری شده ودر موزه لندن نگهداری می شود.

6- 1500 ق.م. ستون هرمی شکل سنگی مقابل معبد خورشید در تبس که 105 فوت درازا وقاعده مربع شکل به ضلع 10 فوت و وزن 430 تن دارد .

7- 1500 ق.م. ساعت آفتابی مصری و قدیمی ترین ساعت آفتابی موجود

8- 1350 ق.م. پاپیروس رولن شامل صورتحساب دقیق نان که نمایانگر استفاده عملی از اعداد بزرگ است .

9- 1167 ق.م. پاپیروس هریس سندی که توسط رامسس چهارم از کارهای برجسته ی پدرش تهیه شده وسندی که داراییهای معبد آن دوران را نوشته است .

حساب و جبر

●کلیه مسائلی که در پاپیروسها آمده عددی و ساده اند اکثریت آنها عملی اند و برخی ریشه ی نظری دارند مثلا ضرب و تقسیم را با یک سلسله اعمال دو برابر سازی انجام می دادند و این مبتنی بر این حقیقت بود که هر عدد را می توان به صورت مجموعی از توانهای 2 نمایش داد .

این روش مصری دو حسن داشت که یکی منتفی شدن یادگیری جدول ضرب و دیگری انجام محاسبات به آسانی روی چرتکه که به علت دوم تا مدتها دوام یافت .

●مصریان کسرها را بجز به صورت مجموعی از کسرهای واحد نشان میدادند تا از برخی مشکلات در مواجهه با کسرها احتراز کنند که این به کمک جداولی به شکل مقدور بود .

برای نوشتن کسر آن رابصورت + می نوشتند و برای نوشتن کسر آن رابصورت + + می نوشتند.

●آنها از نماد بیضی شکل روی عدد مخرج و نمادهایی برای استثنا ها بهره می گرفتند .

●مصریان چون بیشتر با محاسبه قوت و نوشیدنی خود و خوراک دام و طیور و مسائل انبار کردن غله سروکار داشتند مبدا عملی آنها را نشان میدهد و آنها بیش از یک معادله خطی ساده نیاز ندارند .روش آنها در حل این نوع معادله بعدها به قاعده ی امتحان و تصحیح در اروپا معروف شد.

●در جبر مصری یک جفت پا که از راست به چپ می رود نماد ، باضافه(+) و حرکت یک جفت پا خلاف جهت آن ،منها(-) را نمایش می داد وبرای تساوی و مجهول از دیگر نمادها بهره می بردند.

هندسه

26 مورد از110 مسئله موجود در پاپیروسهای مسکو و ریند هندسی هستند. اغلب آنها مسائلی در مورد محاسبه مساحت زمینها و حجم انبار غله بودند ،مصریان مساحت دایره را مساوی مساحت مربعی که روی قطر دایره ساخته میشد درنظر می گرفتند وحجم استوانه ی قائم را به صورت حاصلضرب مساحت قائده در طول ارتفاع آن محاسبه می کردند . آنها می دانستند که مساحت مثلث نصف حاصلضرب قاعده در ارتفاع است . آنها با نظریه ی مقدماتی تناسب آشنا بوده اند ولی بر خلاف تصور حتی حالت خاصی از فیثاغرس را هم نمی دانستند و فرمول نادرستی برای مساحت یک چهار ضلعی دلخواه با اضلاع متوالی ( a,b,c,d ) بکار می بردند : K=

اما آنها فرمول حجم هرم ناقص مربعی القاعده به درستی می دانستند و شایان توجه است که در انتها موجب ایجاد بزرگترین هرم مصری شده است .

● یک مسئله عجیب در پاپیروس ریند آمده که خیلی قابل توجه است ، و به صورت زیر نوشته شده :

خانه 7

گربه 49

موش 343

دانه ی گندم 2401

میزان هکات 16807

_____

19607

به سادگی می توان تشخیص داد که این اعداد پنج توان اول 7 همراه با مجموع آنهاست ودر وهله اول چنین استنباط می شود که نویسنده در اینجا قصد ارائه نامهایی نمادی برای خانه.گربه.موش.دانه.هکات را برای توانهای اول تا پنجم را دارد.

گذشته از تفسیر های دیگر بهترین تفسیر گفته موریس کانتور است که گفته مثل آن مسئله ای است که فیبوناتچی در قرون وسطی در کتاب حساب خود آورده (هفت پیر زن در راه رم هستند هر زن هفت قاطر دارد ، هر قاطر هفت توبره حمل می کند ، هر توبره هفت نان دارد، با هر نان هفت چاقو است، هر چاقو در هفت غلاف قرار دارد. زنان ، قاطر ها ، نانها ، چاقوها، غلافها، مجموعا چند تا در راه رم هستند؟)

و معادل این مسئله برای مسئله پاپیروس ریند اینگونه بیان شده است :

"ملکی متشکل از 7 خانه بود هر خانه 7 گربه داشت هر گربه 7 موش خورد و هر موش 7 دانه گندم خورد و هر دانه گندم قادر به تولید محصولی برای 7 واحد هکات غله است . مجموع خانه ها گربه ها موشها دانه ها و میزان غله به هکات را در این ملک حساب کنید ."

● در مسئله 14 پاپیروس مسکو مثال عددی زیر را میابیم :

" هرم ناقصی به ارتفاع 6 , به ضلع قاعده تحتانی 4 و ضلع قاعده فوقانی 2 داریم , باید 4 را مجذور کنید , نتیجه 16 می شود. باید 4 را دو برابر کنید , نتیجه 8 می شود . باید 2 را مجذور کنید , نتیجه 4 می شود . باید 16 و 8 و 4 را جمع کنید , نتیجه 28 می شود . باید یک سوم 6 را اختیار کنید , نتیجه 2 می شود , باید 28 را 2 بار اختیار کنید , نتیجه 56 می شود. "

که مسئله بالا همان فرمول کلی V= h = می باشد .

● چگونگی رسم مثلث قائم الزاویه توسط مصریان :

اطلاعاتی در دست است مبنی بر اینکه نقشه برداران مصری زوایای قائمه را با ساختن مثلثهایی با اضلاع 3 ,4, 5 با طنابی که به کمک 11 گره به 12 قسمت مساوی تقسیم شده بود ,طرح می کردند .

● مسئله -بابلیان چگونه یک زاویه قائمه را به سه قسمت مساوی تقسیم می کردند؟

تهیه و تنظیم از : دانشجوی رشته ریاضی-رضااحمدی

منابع:

کتاب تاریخ ریاضیات ترجمه دکتر وحیدی اصل

کتاب مسئله های تاریخی ریاضیات ترجمه دکتر پرویز شهریاری

کتاب سرگذشت ریاضیات تالیف دکتر پرویز شهریاری

سایت اینترنتی وکی پدیا (دانشنامه آزاد): : http://fa.wikipedia.org

و من ا... التوفیق

مروری بر ریاضیات بابلی و مصری

مطالب مشابه :

مساحت ها ، محیط ها و حجم اشکال هندسی

فرمول مساحت اشکال هندسي

اصول تهیه طرح های اکتشافی (قسمت چهارم)

طرح درس سالانه (ریاضی راهنمایی)

مروری بر ریاضیات بابلی و مصری

نمونه سوال نقشه کشی در جه 2

تاریخ ریاضیات