امار

آمار عبارت است از یك روش برای جمع آوری ، تجزیه و تحلیل اطلاعات و به طور كلی مطالعه و بررسی مشاهدات است.

جامعه: بزرگترین مجموعه از موجودات است كه در یك زمان معین مورد بررسی قرار می گیرد.

جامعه آماری: تعدادی زاز عناصر جامعه كه حداقل دارای یك صفت مشخص باشند جامعه آماری است.

نمونه: هر بخشی از جامعه آماری یك نمونه نامیده می شود.

پارامتر: از روی كل جامعه میانگین را بدست می آورد.

تعریف پارامتر و آماره: اندازه گیری جامعه برای بدست اوردن بعضی از شاخص هاست (این شاخصها میانگین، میانه، مد، واریانس و انحراف معیار است) . این شاخص ها چنانچه با اندازه گیری تمامی عناصر جامعه آماری بدست ا«ده باشد آنها را پارامكتر می گوییم و اگر با استفاده از بخشی از جامعه بدست امده باشد آنها را آماره می گوییم.

انواع آمار: توصیفی و استنباطی.

آمار توصیفی: این نوع آمار به توصیف جامعه می پردازد و هدف آن محاسبه پارامترهای جامعه است . در این نوع امار با اندازه گیری تمامی عناصر جامعه سروكار داریم.

آمار استنباطی: شامل روشهایی است كه با استفاده از آنها اطلاعات موجود در نمونه را به كل جامعه تعمیم می دهند.

متغیر: در یك جامعه باید موضوع یا موضوعاتی را بررسی كنیم . این موضوع یا موضوعات را متغییر می نامیم. مثلاً قد دانشجویان یك كلاس یا تعداد بیماران مراجعه كننده به یك درمانگاه یا درجه حرارت ، میزان درآمد افراد، گروه خونی، رنگ چشم افراد یا مراحل زندگی یك فرد. تمام اینها یك متغیر است.

متغیرها دو نوع هستند: كمی و كیفی.

متغیرهای كمی: بعضی متغیرها، متغیرهایی هستند كه اندازه گیری می شوند و به آنها یك عدد نسبت داده می شود. این متغییرها را كمی می نامیم . مثل وزن، طول، درجه حرارت، تعداد افراد یك خانواده و ... .

متغییرهای كیفی: نوع دیگری از متغیرها آنهایی هستند كه اندازه گیری نمی شوند فقط نوع آنها تعیین می شود . مثل گروه خونی، جنسیت افراد، مراحل زندگی یك فرد.

متغیرهای كمی دو دسته اند: متغیرهای پیوسته و متغیرهای گسسته.

متغیرهای پیوسته: متغیرهایی هستند كه قابل اندازه گیری هستند و مقادیر آن می تواند صحیح یا اعشاری باشد. مثل قدریال وزن، درجه حرارت، شدت زلزله.

متغیرهای گسسته: متغیرهایی هستند كه قابل شمارش هستند و مقدار آن حتماً یك عدد صحیح است. مثل تعداد افراد یك خانواده یا تعداد غائبین یك كلاس.

متغیرهای كیفی نیز دو دسته هستند: ترتیبی و اسمی.

متغیرهای كیفی ترتیبی: متغیرهایی كه در آنها ترتیب طبیعی وجود دارد. متغیرهای كیفی ترتیبی می نامیم. مثل مراحل تحصیل: دبیرستان قبل از پیش دانشگاهی.

متغیر اسمی: متغیرهای كیفی كه در آنها ترتیب ملاحظه نمی شوند. مثل گروه خونی.

نام علمی مشادهات: توزیع فراوانی.

طبقه بندی و سازمان دهی مشاهدات و ا«ار، توزیع فراوانی نام دارد. به عبارت دیگر توزیع فراوانی به منزله وسیله مناسب برای خلاصه كردن و مشخص نمود ویژگی های اصلی داده های خام تحقیق است.

تعریف فراوانی تجمیعی: چنانچه فراوانی هر طبقه را با فراوانی طبقه های ماقبل جمع می كنیم. فراوانی كه برای آن طبقه حاصل می شود فراوانی تجمیعی نام دارد.

متوسط دسته: چنانچه در هر دسته حد پایین با حد بالا جمع و تقسیم بر 2 شود دسته به دست می آید.

فراوانی نسبی: اگر مقدار فراوانی را به فراوانی كل تقسیم كنیم فراوانی نسبی به دست می آید و اگر در عدد 100 ضرب كنیم درصد فراوانی نسبی به دست می آید.

نمودارهای آماری:

1- نمودار هستیو گرام (بافت نگار): شكلی است متشكل از مستطیلهایی كه عرض آنها فاصله دسته و طول آنها فراوانی است.

2- پلی گن (چند ضلعی): اگر یك هستیو گرام داشته باشیم و وسط عرض بالایی آنها را به هم وصل كنیم شكلی كه به دست می اید به آن پلی گن یا چند ضلعی می گویند.

3- نمودار دایره ای: برای رسم این نمودار مساحت دایره را به قطعه هایی تقسیم می كنیم.

برای اجتناب از نوشتن مكرر علامت جمع شكل بزرگ حرف یونانی سیگما را به عنوان نماد ریاضی برای عمل جمع به كار می برند. جمله ای كه بعد از نماد سیگما نوشته می شود نشان دهنده مقداری است كه باید با هم جمع شوند و نمادهای پایین و بالای سیگما حد i را مشخص می كنند.

پارامترهای مركزی: معیار عددی كه معرف مركز مجموعه داده ها باشد پارامتر مركزی نامیده می شود . در این مورد ما میانگین، میانه، مد یا نما را بررسی می كنیم.

میانگین: معدل مجموعه ای از مشاهدات را میانگین می نامند. این میانگین بوسیله تقسیم كردن مجموع مشاهدات بر تعداد آنها محاسبه می شود.

خاصیت های میانگین:

1- مجموع تفاضل داده ها از میانگین نشان برابر صفر است.

2- هرگاه هر یك از مشاهدات با یك عدد ثابت جمع شود نگاه میانگین داده های جدید برابر است با میانگین داده های قدیم به علاوه آن مقدار ثابت.

3- هرگاه هر یك از مشاهدات در یك عدد ثابت ضرب شود آنگاه میانگین داده های جدید برابر است با میانگین داده های قبلی ضرب در مقدار ثابت.

میانه: میانه صفتی از جامعه است كه 50% داده ها پایین آن قرار دارند و 50% داده ها بالای آن قرار دارند . به طور كلی برای پیدا كردان میانه ابتدا داده ها را به ترتیب صعودی (یعنی از كوچك به بزرگ) مرتب می كنیم. اگر تعداد داده ها فرد بود عدد وسطی میانه می شود و اگر تعداد داده ها زوج بود دو عدد وسط را با هم جمع می كنیم و تقسیم بر 2 می كنیم كه میانه می شود. میانه را با نماد medنشان می دهند.

نكته: اگر داده ها به صورت جدول فراوانی باشد میانه كوچكترین مقدار x است كه فراوانی تجمعی آن بیشتر نصف كل فراوانی ها باشد. اگر فراوانی تجمعی داده ای دقیقاً برابر نصف كل فراوانی ها باشد میانگین آن داده و داده بعدی میانه می شود.

نما یا مد: در میان یك سری داده ها مقداری كه بیشترین فراوانی را داشته باشد مد نام دارد و با نماد mode نمایش می دهند.

اگر داده ها به یك اندازه تكرار شده باشد آنگاه جامعه مد ندارد یا تهی است.

پارامترهای پراكندگی: میزان پراكندگی یا دوری و نزدیكی داده ها را تعیین می كند. از میان پارامترهای پراكندگی ضریب تغییرات، دامنه تغییرات، واریانس و انحراف معیار را بررسی می كنیم.

دامنه تغییرات: در یك سری از داده ها، دامنه تغییرا عبارت است از تفاوت كوچكترین مقدار از بزرگترین مقدار آن را با R نمایش می دهیم.

ویژگی های دامنه تغییرات:

ویژگی اول: اگر به داده های آماری یك عدد ثابت اضافه شود دامنه تغییرات ، تغییر نمی كند.

ویژگی دوم: اگر همه داده های آماری در یك عدد ثابت ضرب شود دامنه تغییرات جامعه جدید در قدر مطلق آن عدد ثابت ضرب می شود.

ویژگی سوم: اگر دامنه تغییرات برابر با صفر باشد در نتیجه بزرگترین داده و كوچكترین داده با هم برابر هستند در نتیجه كل داده ها یكی هستند.

نكته: اگر در جامعه آماری بزرگترین داده و كوچكترین داده با هم برابر باشند و اعداد وسط با هم فرق داشته باشند دامنه تغییرات نمی تواند معیار خوبی برای پاكندگی باشد به همین دلیل از معیار پراكندگی دیگری به نام واریانس استفاده می كنیم.

واریانس: یكی دیگر از شاخصهای اندازه گیری پراكندگی داده ها نسبت به میانگین واریانس است كه آن را با نماد سیگما2 نمایش می دهند.

ویژگی های واریانس:

اگر همه داده ها با یك عدد ثابت جمع شود واریانس جامعه جدید فرقی با جامعه قبلی ندارد.

اگر همه داده های آماری در یك عدد ثابت ضرب شود واریانس جامعه جدید برابر است با واریانس جامعه قبلی ضرب در توان 2 آن عدد.

نكته: اگر واریانس یك سری از مشاهدات برابر با صفر باشد در نتیجه پراكندگی این مشاهدات برابر با صفر است پس می توانیم نتیجه بگیریم داده ها با هم برابر هستند.

انحراف معیار: یكی دیگر از پارامترهای پراكندگی انحراف معیار است. انحراف معیار را معیار جذب واریانس تعریف می كنند.

نكته: واحد انحراف معیار همان واحد داده های اصلی است.

خاصیت های انحراف معیار:

1- اگر یكسری داده با یك عدد ثابت جمع شوند در انحراف معیرا داده های جدید تغییری حاصل نمی شود.

2- اگر یكسری از داده ها در یك عدد ثابت ضرب شود انحراف معیار داده های جدید برابر است با انحراف معیار داده های قدیم ضرب در قدر مطلق عدد ثابت.

ضریب تغییرات: یكی دیگر از معیارهای پراكندگی، ضریب تغییرات است كه با نماد cv نمایش داده می شود.

چند توزیع خاص:

1- توزیع (جامعه) متقارن: اگر در یك جامعه مقادیر میانگین، میانه و مد با هم برابر باشند جامعه یا توزیع متقارن نامیده می شود.

2- توزیع كشیده به چپ: اگر در یك جامعه مقدار مد بیشتر از میانه و مقدار میانه بیشتر از مقدار میانگین باشد توزیع (جامعه) كشیده به چپ یا كشیدگی منفی یا چولگی منفی می باشد.

3- توزیع كشیده یه سمت راست (كشیدگی مثبت یا چولگی مثبت): اگر در یك جامعه مقدار میانگین از میانه بیشتر و مقدار میانه بیشتر از مد باشد توزیع كشیده شده به سمت راست است.

صدك: اگر p عددی بین صفر و صد باشد صدك عددی است كه p درصد داده ها از آن كمتر و درصد داده ها بیشتر از آن است. صدك را با نماد hp نمایش می دهند.

روش پیدا كردن چاركها: ابتدا داده ها را از كوچك به بزرگ مرتب می كنیم و میانه داده ها را بدست می آوریم. میانه همان چارك دوم است. میانه نیمه اول داده ها چارك اول نامیده می شود و میانه نیمه دوم داده ها چارك سوم نامیده می شود.

دهكها: دهكها صدك های ویژه ای هستند. دهكها داده ها را به 10 قسمت مساوی تقسیم می كنند كه هر قسمت 10% از داده ها وجود دارد. دهكها را با نماد d نشان می دهند.

نمره z یا نمره استاندارد: نمره z برای یك مقدار داده در یك مجموعه داده ها با كم كردن میانگین این مجموعه داده ها از این مقدار و تقسیم بر انحراف معیار داده بدست می آید. اصولاً نمره z بیانگر آن است كه یك مقدار خاص چند انحراف معیار از میانگین داده ها فاصله دارد.

نكته: بدون توجه به میانگین نمره ها و واریانس نمره ها در توزیع اصلی میانگین توزیع نمره های z همیشه صفر است و واریانس نمره های z، 1 است.

بررسی داده های دو متغیری: توزیع های یك متغیره توسط میانگین و انحراف معیار مورد توصیف قرار می گیرد. توزیع های دو متغیره را می توان توسط ضریب همبستگی و نمودار پراكندگی توصیف كرد.

نمودار پراكندگی: برای بررسی اینكه آیا رابطه ای بین دو متغیر وجود دارد یا نه از نمودار پراكندگی استفاده می شود.

نكته: دو متغیر وابسته مثبت هستند هرگاه مقادیر بزرگتر یك متغیر گرایش به پیوند با مقادیر بزرگتر دیگر را داشته باشد. مثل رابطه دما و تعداد بطری های نوشابه فروخته شده.

دو متغیر وابسته منفی هستند هرگاه مقادیر بزرگتر یك متغیر گرایش به پیوند با مقادیر كوچكتر متغیر دیگر را داشته باشد مثل رابطه بین اضطراب و نمره (هرچه اضطراب بالاتر شد نمره پایین تر است).

همبستگی: مقدار عددی كه پیوند بین دو متغیر را نشان می دهد ضریب همبستگی می نامیم. ضریب همبستگی با r نشان داده می شود.

ویژگی های ضریب همبستگی:

1- دامنه تغییرات ضریب همبستگی از منفی یك تا یك است.

2- اگر رابطه خطی مثبت بین متغیرها موجود باشد مقدار r برابر 1 است.

3- اگر رابطه خطی منفی بین متغیرها موجود باشد مقدار r برابر منفی یك است.

4- اگر رابطه خطی مثبت قوی بین متغیرها وجود داشته باشد مقدار r نزدیك 1 است.

5- اگر رابطه خطی منفی قوی بین متغیرها وجود داشته باشد مقدار r نزدیك منفی یك است.

6- اگر هیچ رابطه خطی بین متغیرها موجود نباشد مقدار r صفر است.

توزیع نرمال: یك توزیع نرمال یك توزیع پیوسته متقارن است. این توزیع برای توصیف بسیاری از پدیده های طبیعی مانند قد، وزن، فشار خون و ... استفاده می شود.

ویژگی های توزیع نرمال:

1- یكی از ویژگی های توزیع نرمال نمایی بودن آن است. در یك توزیع فراوانی با حجم زیاد نمره ای كه بیشتر از همه نمره ا تكراری می شود نمره ای است كه دقیقاً در نقطه میانگین توزیع قرار دارد هرچه فاصله یك نمره از میانگین بیشتر شود فراوانی آن كمتر می شود.

2- ویژگی دوم توزیع نرمال متقارن بودن توزیع در نقطه میانگین است. یعنی اگر توزیع را از نقطه میانگین تا بزنیم دو طرف توزیع كاملاً بر هم منطبق می شود.

3- سومین ویژگی این توزیع برابر بودن مقادیر مد (نما)، میانگین و میانه است.

سطح زیر توزیع نرمال: چون 100% یا نسبت 1 بیانگر تمام یك كمیت است در نتیجه تمام سطح زیر منحنی هر توزیع نرمال 100% یا 1 است.

توزیع نرمال استاندارد: چون هر توزیع نرمال دارای میانگین و انحراف معیار مخصوص به خودش است، شكل و منحنیهای نرمال متغیر خواهد بود. به همین دلیل از توزیع نرمال استاندارد استفاده می كنیم كه توزیع نرمال استاندارد توزیع نرمالی است كه میانگین آن صفر و انحراف معیارش برابر 1 باشد.

صدک و چارک را تعریف نمایید.

5- صدک (Percentile): عددی است که درصد توزیعی برابر با یا کمتر ار آن عدد را نشان می دهد.
6- چارک (Quartile): چارک به هر یک از سه مقداری که یک مجموعه از داده‌های مرتب را به چهار بخش مساوی تقسیم می‌کند گفته می‌شود. به اینصورت هر کدام از آن بخش‌ها یک‌چهارم از نمونه یا جمعیت را به نمایش می‌گذارد.
با استفاده از درصد تجمعی می توان صدک ها و چارک های مختلف را معین نمود.
به عنوان مثال قد دویست شرکت کننده مرد در مسابقه دو و میدانی به صورت زیر می باشد:

جدول سه ـ توزیع فراوانی قد دویست شرکت کننده مرد در مسابقه دو و میدانی

امار

مطالب مشابه :

واریانس (σ2 یا S2) و انحراف معیار (σ یا S)

انحراف معیار

شاخص های پراكندگي

واریانس

امار

نمونه سوالات امار مدیریت - احتمال تجمیع

کاربرد آمار در روانشناسی و علوم تربیتی

تعریف ریسک و تشریح انواع آن

ساعت بیداری دانش آموزان

آشنایی با دستگاه پلی گراف - دروغ سنج