آمار و مدل سازی

در این مقاله هدف ما،بررسی ساده ترین مدل جمعیت است.یعنی مدل جمعیت یک بعدی تعینی.(یعنی فرض می کنیم فقط یک نوع جمعیت باشد و در آن عوامل تصادفي موثر نیستند.)

ما قبل از بیان فرمول مدل جمعیت، مثال زیر را مطرح می کنیم:

مثال:متخصصان بر این باورند که زمین های قابل کشت وزرع، حداکثر می تواند غذای 40 میلیارد انسان را تامین کند،در آغاز سال 1990میلادی جمعیت جهان2/5میلیارد نفر تخمين زده شد . اگر جمعیت با میزان رشد ثابت 2% در سال افزایش یابد،در چه زمانی جمعیت به حداكثر میزان ذکر شده خواهد رسید؟

حل:

2/5 = جمعیت اولیه به میلیارد
02/0 = نرخ رشد= r
جمعیت در سال میلیارد
جمعیت در سال میلیارد
جمعیت بعد ازn سال میلیارد

حال قرار می دهیم: وn را با لگاریتم گرفتن از طرفین به دست می آوریم :

در نتيجه :

یعنی در سال 2093=103+1990 جمعیت به 40 میلیارد نفر می رسد.ما در این مثال، نرخ رشد جمعیت را سال به سال محاسبه کردیم.حال رشد جمعیت را در پايان هر ماه حساب مي کنیم،در مثال بالا نرخ رشد در ماه برابر با :

می شود.

جمعیت بعد از یک ماه میلیارد
جمعیت بعد از دو ماه میلیارد
جمعیت در سال 1991= میلیارد
جمعیت بعد از n سال = میلیارد

جمعیت در سال میلیارد

حال اگر جمعیت را روز به روز محاسبه کنیم،نرخ رشد دریک روز برابر با:

می شود.

جمعیت بعد از یک سال میلیارد
جمعیت بعد ازn سال= میلیارد

جمعیت در سال 2093 برابر با :

میلیارد می شود.

حال اگر جمعیت را در هر ساعت محاسبه کنیم،نرخ رشد جمعیت در یک ساعت برابراست با: .

جمعیت در سال 2093 برابر است با:

اگر جمعیت را در هر ثانیه حساب کنیم،جمعیت در سال 2093 بیش تر می شود و به 799/40میلیارد نفر نزدیک می شود.
برای دیدن علت این امر بهتر است به مطلب زیر توجه کنیم:

دنباله ی را در نظرمی گیریم.این دنباله را برای مقدار های مختلف n محاسبه می کنیم:

قضیه: موجود است و آن را عدد e مي ناميم .

...71828182/2=e حال فرض می کنیم نرخ رشد جمعیتr باشدو جمعیت اولیه را با و جمعیت بعد از tسال را با نشان مي دهیم.اگر جمعیت را سال به سال محاسبه کنیم:

و اگر جمعیت را در سال محاسبه کنیم:

یعنی بعد ازt سال درصورتی که در هر سال، جمعیت را محاسبه کنیم،جمعیت به دو متغیر t (زمان) و n (تعداد تقسیمات زمان)بستگی دارد.بنابر این با نشان می دهیم:

حال اگر n را بزرگ و بزرگ تر کنیم،یعنی محاسبه ی جمعیت را در مدت زمان های کوتاه تری انجام دهيم ،مدل ما به مدل واقعی جمعیت نزدیک و نزدیک تر می شود.یعنی اگر n را به سمت بی نهایت میل دهیم ،جمعیت در هر لحظه محاسبه می شود.این مدل را مدل پیوسته می نامیم و آن را با نشان می دهیم.یعنی:

با فرض ،اگر آن گاه .بنابراین .

اما : .

و می توان نشان داد که (توجه : x لزوما" طبيعي نيست) :

بنابراین .

یعنی مدل جمعیت پیوسته به صورت زیر است:

در این جا r می تواند منفی نیز باشد.یعنی جمعیت یک کشور،سرمایه و... می تواند نزول کند.زمانی که r مثبت باشد، مدل را مدل رشد و زمانی که r منفی باشد ، مدل زوال گوییم.

مجددا" به محاسبه ي جمعیت در مثال ذکر شده در سال 2093 می پردازیم: