Symmetry & similarity

تقارن (symmetry) برای یک سیستم فیزیکی به این معناست که برخی از خواص فیزیکی و یا ریاضیاتی سیستم تحت برخی از تبدیلات، بی تغییر بماند.

تبدیلات ممکن است پیوسته و یا گسسته باشند. تبدیلات پیوسته و گسسته هر کدام منجر به یک نوع از تقارن می شوند. تقارن های پیوسته توسط گروه های لی(Lie group) و تقارن های گسسته توسط گروههای متقارن توصیف می شوند.

یک مثال مهم از تقارن، ناوردایی شکل قوانین فیزیک تحت تبدیلات مختصات است. ناوردایی به صورت ریاضی توسط یک تبدیل مشخص می شود که در آن برخی از کمیات بدون تغییر از مختصات باقی می مانند.

برای مثال، دما درون یک اتاق ممکن است که ثابت باشد. به این دلیل که دما مستقل از موقعیت درون اتاق است،دما تحت تغییر موقعیت اندازه گیری، ناوردا باقی خواهد ماند. به طور مشابه، کره یکنواختی که حول مرکزش چرخانده شود، دقیقا همان چیزی به نظر می آید که قبل از چرخاندن بود و گفته می شود که کره دارای تقارن کروی است.

تقارن های پیوسته:

آنها به صورت ریاضی توسط توابع continuous یا smooth توصیف می شوند. یک زیر شاخه مهم در تقارن های پیوسته در فیزیک، تقارن های فضا- زمان است.تقارن های پیوسته فضا- زمان تقارن هایی هستند که شامل تبدیلات فضایی و یا زمانی و یا هر دو هستند. تقارن های فضایی( spatial symmetry ) آنهایی که هستند که فقط شامل هندسه فضایی سیستم فیزیکی میشوند و تقارن های زمانی (temporal symmetry)فقط شامل تبدیلات زمانی هستند و تقارن های spatio-temporal شامل هر دو تغییر هستند.

تبدیل زمان: یک سیستم فیزیکی ممکن است خواصی یکسانی بر روی یک بازه دلتای t داشته باشد، به صورت ریاضی این به عنوان یک ناوردایی تحت تبدیل t-t+a برای هر مقدار حقیقی t، بیان می شود.

برای مثال در فیزیک کلاسیک، ذره ای را فرض کنید که در ارتفاع H از سطح زمین قرار گرفته است و انرژی پتانسیل mgh دارد. اگر ارتفاع ذره تغییر نکند، انرژی پتانسیل گرانشی ذره در تمام لحظات یکسان خواهد بود.به عبارت دیگر، با این فرض که حالت ذره در زمان t و t+3 تغییر نکند، انرژی پتانسیل گرانشی تحت تبدیل t به t+3 ناوردا باقی می ماند.

تبدیل فضایی: این نوع از تقارن ها با تبدیلات r به r+a بیان می شوند و توصیف کننده موقعیت هایی هستند که تحت تبدیل آنها یک یا چند ویژگی سیستم تغییر نخواهدکرد. برای مثال، دمای اتاق ممکن است مستقل از جایی که شما آن را اندازه می گیرید باشد.

چرخش فضایی: این نوع از تقارن های فضایی، در دسته proper rotation و improper rotation طبقه بندی می شوند. اخیرا آنها فقط ordinary rotation هستند که به صورت ریاضی با ماتریس های مربعی با دترمینان یک توصیف می شوند ولی قبلا آنها با ماتریس های مربعی با دترمینان 1- هم نشان داده می شدند که شامل proper rotation و spatial reflectionهستند.

تبدیلات پوانکاره: آنها تقارن های spatial – temporal هستند که فاصله را در فضا – زمان مینکوفسکی حفظ می کنند. آنها isometries فضای مینکوفسکی هستند که برای اولین بار در نسبیت خاص مورد مطالعه قرار گرفتند. این isometry ها تبدیلات لورنتس خوانده می شوند و منشا تقارنی هستند به نام هموردایی لورنتس مشهور است.

تقارن های تصویری ( projective symmetry ): این نوع از تقارن ها از نوع spatial –symmetry هستند که ساختار ژئودوزیک فضا – زمان مینکوفسکی را بدون تغییر باقی نگه می دارند.آنها می توانند بر روی هر smooth manifold تعریف شوند ولی کاربرد زیادی در مطالعه، حل های دقیق در نسبیت عام دارند.

یک نوع دیگر از تقارن های فضا – زمان نیز وجود دارند با نام Inversion Transformation که من چیز زیادی از آنها بلد نیستم و فقط می دانم که آنها وجود دارند.

تقارن های گسسته

Time reversal: بیشتر قوانین فیزیکی زمانی که جهت زمان معکوس می شود، یک پدیده حقیقی را توصیف می کنند. به طور ریاضی، آنها با تبدیل t به –t توصیف می شوند. برای مثال، قانون دوم نیوتن اگر t به –t تبدیل شود، همچنان برقرار خواهد ماند. این ممکن است با پرتاب گلوله ای به طور عمودی به سمت بالا، نشان داده شود که در آن مکان نسبت به ارتفاع اوج متقارن است ولی سرعت هنگام که زمان معکوس می شود، معکوس می شود.

Spatial Invertion: آنها با تبدیلاتی از نوع rبه –r نشان داده می شوند و یک خاصیت ناوردایی سیستم را زمان که مختصات معکوس شد، نشان می دهند.

Glide reflection: آنها ترکیبی از انتقال و انعکاس هستند. این تقارن در برخی از کریستال ها و برخی از تقارن های صفحه ای که مشهور به wallpaper symmetry هستند،مشاهده می شود.

تقارن ها را می توان به local و Global نیز طبقه بندی کرد. که بعدا مفصل به آنها خواهم پرداخت.

تا کنون تقارن ( symmetry) این گونه شد که اگر تحت تبدیلی، خاصیت و یا خواصی از سیستم فیزیکی، تغییر نکند می گوییم که سیستم تحت آن تبدیل تقارن دارد.حال آن تبدیل می تواند پیوسته باشد یا گسسته، میتواند Local باشد و یا Global.

کلمه دیگری در زبان انگلیسی وجود دارد با نام similarity به معنای مشابهت که اکنون می خواهم به تبیین این کلمه در فیزیک بپردازم. متاسفانه معولا این دو کله اشتباه گرفته می شوند و گاه similarity را با symmetry یکی در نظر می گیرند و من نیز این اشتباه را می کردم.

حداقل تا آنجایی که من می دانم 4 بار در فیزیک از similarity استفاده شده است که سه بار آن با تجربه سازگاری بالایی داشته است.

جریان جابه جایی در معادلات ماکسول:

ماکسول با خود اندیشید که اگر تغییرات زمانی میدان مغناطیسی، تولید میدان الکتریکی می کنید ( قانون فاراده ) شاید تغییرات زمانی میدان الکتریکی نیز تولید میدان مغناطیسی کند. این سبب شد که جمله جریان جابه جایی را به قانون آمپر اضافه کند. این کار یک کار نظری است و باید در آزمایشگاه آن را تست کند که آیا این جمله وجود دارد و یا خیر. ماکسول با آزمایش نشان مید هد که اضافه کردن این جمله درست است و او از مشابهت سازی توانست یک کشف مهم کند.

فرمول بندی تک قطبی مغناطیسی:

دیراک با خود اندیشید که اگر الکتریسته و مغناطیس دارای یک منشا هستند و دارای ویژگی های یکسان زیادی هستند، پس چرا ما فقط تک قطبی الکتریکی داریم و چرا نباید تک قطبی مغناطیسی داشته باشیم. او فرمول بندی تک قطبی مغناطیسی را شروع کرد و تغییراتی در دیورژانس میدان مغناطیسی حاصل کرد. کار او نظری بود و باید در آزمایشگاه تایید می شد ولی تاکنون که هیچ کس نتوانسته است تک قطبی مغناطیسی را در آزمایشگاه مشاهده کند.

تبدیلات لورنتس توسط آلبرت:

انیشتین با خود فکر کرد که اگر در تبدیلات مکان، زمان نقش دارد چرا در تبدیل زمان، مکان نقشی نداشته باشد؟ (تبدیلات گالیله) او شروع به فرمول بندی کرد و که در آن تبدیلات مکان به زمان و تبدیل زمان به مکان ربط داشته باشد. یعنی یک تابع کلی را نوشت از تبدیلات فضا و زمان. سپس با فرض همگنی و همسانگردی فضا و زمان فهمید که آن تابع باید خطی باشد و در آخر با یک اصل تجربی (ثابت بودن سرعت نور در چهارچوب های لخت ) و یک اصل منطقی ( قوانین فیزیک در تمام چهار چوب لخت یکسان باشند) توانست ضرایب تبدیل را بدست بیاورد. این جا نیز مشابهت سازی به کمک انیشتین رسید.

موج مادی توسط دوبروی:

دوبروی با خود فکر کرد که اگر موج الکترومغناطیس دارای خاصیت ذره ای است ( آزمایش فوتوالکتریک ) پس چرا ذرات نمی توانند خاصیت موجی از نشان دهند؟ این بود که شروع به فرمول بندی این مطلب کرد و رابطه معروف p=hk را بدست آورد. این کار تئوری او در آزمایش گاه نیز مشاهده شد و شاهد طرح تداخل از الکترون ها و دیگر مواد در آزمایشگاه شدند. این باز نیز مشابهت سازی به کمک دوبروی آمد و او توانست که این مهم را انجام دهد.

Symmetry & similarity

مطالب مشابه :

تبدیلات لورنتس و اثبات کامل

نسبیت خاص

تبدیلات گالیله

Symmetry & similarity