حل دستگاههای خطی N معادله با N مجهول در MATLAB

در موارد بسیاری نیاز است تا تعداد معینی معادله خطی با همان تعداد معین از مجهولات را حل کنیم. برای نمونه در زمینههایی مانند تحلیل مدارات الکترونیکی، مدلسازی آب و هوا، CT Scan (computed axial tomography) و موارد بسیار دیگر، با این مبحث ریاضی روبرو خواهیم بود.

یک شکل نمونه از یک دستگاه با چهار معادله و چهار مجهول به فرم زیرمفروض است:

2a + 2b + 1c + 6d = 4

4a – 2b + 0.5c +1d = 2

6a + 1b + 0c – 1d = -1

2a + 2b – 1c + 3d = 4

در اینجا ما باید مقادیر a, b, c, d را طوری بیابیم که همه معدلات ارضاء گردند.

برای حل دستگاههای معادلات خطی در مقاطع راهنمایی و دبیرستان مطالب زیادی آموختهایم. و روشهای متعددی نیز برای این امر وجود دارد. که از آن جمله می توان به روش حذفی و روش کرامر اشاره کرد. اما در محیط MATLAB دستوراتی برای حل این معادلات وجود دارد که از روش ضرب ماتریس (اسکالر) استفاده می کند. برای همین دو عدد ماتریس از طرفین معادله به فرم زیر تشکیل داده می شود:

A=[2 3 1 6

4 -2 .5 1

6 1 0 -1

2 2 -1 3]

B=[4

-1

حال بایستی ماتریس A معکوس گردد و سپس در ماتریس B ضرب گردد. و حاصل در یک ماتریس دیگر ذخیره گردد؛ دستورات MATLAB به فرم زیر خواهد بود:

x=inv(A)*B و یا x=A^(-1)*B و نیز می توان از دستور x=A\Bاستفاده کرد که این دستور بسیار بهینه و قابل اعتماد نسبت به دو مورد قبلی است.

ماتریس x که از حاصلضرب دو ماتریس اول بدست آمده یک ماتریس یک ستونه و چهار سطری می باشد که مجهولات معادلات به فرم زیر در آن جای گرفته اند:

a=x(1)

b=x(2)

c=x(3)

d=x(4)

این روش در عین سادگی فوق العاده گاهی وقتها نیز دچار مشکل می شود و جوابهای صحیح را بدست نمی دهد و یا گاها چند جواب متفاوت را در متغییرهای متعدد می دهد، (مخصوصاً در زمان استفاده از دستور inv(A)) برای اجتناب و پیشگیری از این مشکل، در دستگاه معادلات، بایستی به N مجهول دقیقاً N معادله خطی مستقل داشته باشیم. و معادله مستقل معادله ای است که با افزودن یک مقدار به معدله دیگر بدست نیاید. یعنی کاملا با معدلات دیگر متفاوت باشد!.

البته همیشه نمی توان با یک نگاه ساده به معادلات به مستقل بودن آنها پی برد! بنابراین در MATLAB برای حل این مشکل از دستور Rank() استفاده می کنیم که در صورت دادن ماتریس مرجع به آن، تعداد معادلات مستقل را مشخص خواهد نمود.

یک مثال کاربردی در تصویربرداری پژشکی:

http://homepages.udayton.edu/~hardierc/ECE203/lineareq.htm

http://en.wikipedia.org/wiki/System_of_linear_equations

حل دستگاههای خطی N معادله با N مجهول در MATLAB

مطالب مشابه :

حل معادلات دیفرانسیل با متلب

حل دستگاههای خطی N معادله با N مجهول در MATLAB

حل معادلات دیفرانسیل معمولی با استفاده از نرم افزار متلب

حل معادلات خطی در متلب

پروژه برای درس محاسبات عددی

حل عددی معادلات غیر خطی _ روش تیلور

دانلود رایگان حل دستگاه معادلات دیفرانسیل معمولی با استفاده از نرم افزار متلب(مهندس حسن فراهانی)

لیست پروژه های انجام شده با متلب matlab و فرترن