اشنایی با ضریب همبستگی وکوواریانس و توزیع گاما...

اميد رياضي:
امید ریاضی يك متغير تصادفي يكي از مهمترين مفاهيم نظريه ي احتمال است. كه نقش آن در نظريه احتمال همانند نقش انتگرال است در حسابان.
براي روشن شدن مفهوم انگيزه اميد رياضي يك بازي را در نظر بگيريد كه در آن احتمال باخت يك دلار در هر بازي 6/0 و احتمالهاي برد به ترتيب 3/0 ، 08/0 و 02/0 است . هر چند برد يا باخت هر بازيكني بيشتر از هر چيز به شانس او بستگي دارد اما اگر بازيكني تصميم بگيرد كه دفعات زيادي بازي را ادامه دهد ، مقدار برد يا باخت او بيشتر از هر چيز به تعداد دفعات بازي بستگي دارد . هر بازيكن حسابگر ، حساب مي كند كه اگر n بار بازي را تكرار كند وقتي n بزرگ است آن گاه به طور تقريب در n(6/0) با ر1 دلار مي بازد ، و تقريبأ در n(3/0) ، n(08/0) ، و n(02/0) بار به ترتيب 1 ، 2 ، و 3 دلار مي برد. بنابر اين كل مقدار برد او برابر است با
n (08/0-)=3×n(02/0)+2×n(08/0)+1×n(3/0)+(1- (×n(6/0)

و08/0- نشان مي دهد كه به طور متوسط در هر بازي نزديك به 08/0 دلار مي بازد.اگر X يك متغير تصادفي باشد كه مقدار برد بازيكن را در هر بازي نشان مي دهد در اين صورت عدد 08/0- را مقدار مورد انتظار Xمي گوييم و مي نويسيم
08/0-=E(X) .
((X متوسط مقدا رX است.
تعريف مقدا رمورد انتظار متغير تصادفي X با مجموعه مقادير ممكن A و تابع
احتمال p(x) بنا به تعريف عبارت است از :
A E(X)=∑xp(x , x (€
اگر اين مجموع به طور مطلق همگرا باشد در اين صورت مي گوييم (E(X وجود دارد.
مقدار مورد انتظار متغير تصادفي X را ميانگين يا اميد رياضي X مي نامند ود آن را با(E(X نشان مي دهند .
به همين ترتيب اگر X يك متغير تصادفي پيوسته با تابع چگالي احتمال ƒ باشد،آن گاه مقدار مورد انتظار X بنا به تعريف عبارت است از :
E(X)=∫xƒ(x)dx
واريانس متغير تصادفي
واريانس يك متغير تصادفي (چه گسسته چه پيوسته ) عبارت است از”متوسط مجذور فاصله متغير تصادفي از ميانگين خود”.پس در حالت گسسته داريم:
. َ^2=Var(X)=E(X-ى)^2=س(ai- ى)^2P(X=ai)
كه منظور از ى همان اميد رياضي است.كوواريانسفرض كنيد X و Y دو متغير تصادفي با توزيع تواَم باشند، در اين صورت كوواريانس X و Y به صورت زير تعريف مي شود
Cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y[ (((
توجه كنيد كه،
Cov(X,X)= َx^2=Var(X(
همچنين بنا بر نابرابري كشي ـ شوارتز،
Cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))] <= َX َY

يك مثال براي آشنايي با مفهوم اميد رياضي و كوواريانس

فرض كنيد X طول عمر يك دستگاه الكترونيكي و Y طول عمر يكي ازاجزاي آن باشد.
فرض كنيد با از كار افتادن اين جزء دستگاه از كار بيفتد(اما عكس آن لزومأ
درست نباشد.) به علاوه فرض كنيد كه تابع چگالي احتمال تواُم X وY (بر حسب
سال) به صورت زير باشد

ƒ(x,y)= 1/49e^(-y/7) 0<=x<=y
جاهاي ديگر 0
الف) اميد رياضي باقيمانده طول عمر اين جزء را وقتي دستگاه از كار مي افتد
تعيين كنيد.
ب) كوواريانس X و Y را بيابيد.
حل.(الف) باقيمانده طول عمر جزء وقتي دستگاه از كار مي افتد برابر است با
Y-X. بنابر اين مقدار مورد انتظار برابر است با :
E(Y-X)=∫ ∫(y-x)(1/49)e^(-y/7)dxdy
=(1/49) ∫e(-y/7)(y^2-y^2/2)dy
=(1/98) ∫y^2e^(-y/7)dy=7
كه در آن آخرين انتگرال با استفاده از دو بار روش جزء به جزء محاسبه شده است
.
(ب) براي محاسبه Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) ، توجه كنيد كه،

E(XY)= ∫ ∫(xy)(1/49)e(-y/7)dxdy
=1/49∫ye^(-y/7)( ∫xdx)dy
=1/98∫y^3e^(-y/7)dy=14406/98=147
كه در آن آخرين انتگرال با استفاده از سه بار روش جزء به جزء محاسبه شده است
. همچنين داريم :
E(X)= ∫ ∫x(1/49)e^(-y/7)dxdy=7
E(Y)= ∫ ∫y(1/49)e^(-y/7)dxdy=14
بنابراين ،Cov(X,Y)=147-7*14=49 . توجه كنيد همچنان كه انتظار آن را داريم ،
Cov(X,Y)>0 زيرا X و Y مثبت اند.
همبستگي

در حالي كه براي متغيرهاي تصادفي X و Y ، Cov(X,Y) اطلاعاتي درباره تغييرات
تواُم Y,X به دست ميدهد ، اما نقص عمده اي هم دارد : كوواريانس مستقل از واحد
اندازه گيري نيست.توضيح اين كه فرض كنيد براي متغيرهاي تصادفي Y,X وقتي اينها
مثلاًَ با سانتيمتر اندازه گيري مي شوند داشته باشيم Cov(X,Y)=0.15 . براي
همين متغيرهاي تصادفي اگر واحد اندازه گيري را به ميليمتر تغيير دهيم در اين
صورت مقادير جديد مشاهده شده X1=1*X و Y1=1*Y بوده و داريم :
Cov(X1,Y1)=Cov(10X,10Y)=100Cov(X,Y)=15
اين رابطه نشان ميدهد كه Cov(X,Y) نسبت به واحد اندازه گيري حساس است .
اگر براي هر متغير تصادفي X مقدار استاندارد شده آن
X٭=[X-E[X]]/َx
مستقل از واحد اندازه گيري است. پس چنين به نظر مي رسد كه براي تعريف اندازه
همبستگي Y,X ، به صورتي كه مقدار آن به مقياس اندازه گيري بستگي نداشته باشد،
Cov(X٭,Y٭) به جاي Cov(X,Y) مناسبتر باشد. پس داريم :
Cov(X٭,Y٭)=Cov((X-E[X])/َx ,(Y-E[Y])/َy )
=Cov(X/َX-E(X)/ َX,Y/ َY-E(Y)/ َY )
=1/(َxَY)Cov(X,Y)
=Cov(X,Y)/ َxَY
تعريف فرض كنيد Y,X دو متغير تصادفي باشند به قسمي كه 0<َ²x<∞ و 0<َ²y<∞ .
كوواريانس مقادير استاندارد شده Y,X را ضريب همبستگي بين Y,X مي نامند و آن
را با ٌ=ٌ(X,Y) نشان مي دهند . بنابراين ،
ٌ=Cïv(X,Y)/ َxَY
كميت Cïv(X,Y)/ َxَY همه اطلاعات مهمي را كه Cïv(X,Y) درباره تغييرات تواُم
Y,X به دست ميدهد ،در بر دارد ، و در عين حال نسبت مقياس اندازه گيري هم حساس
نيست.
در ادامه مبحث ضريب همبستگي به بيان يك لم مي پردازم كه بسيار جالب است.
لم:براي هر دو متغير تصادفي Y,X با ضريب همبستگي ٌ(X,Y) ، داريم :
Var(X/َx +Y/َy)=2+2ٌ(X,Y)
Var(X/َx -Y/َy)=2-2ٌ(X,Y)

قضيه:براي هر دو متغير تصادفي Y,X با ضريب همبستگيٌ(X,Y) داريم:
الف)-1<=ٌ(X,Y)<=1
ب)با احتمال 1،ٌ(X,Y)=1 اگر و تنها اگر براي بعضي مقادير ثابت a,b وa>0
،Y=Ax+b
ج) با احتمال 1،ٌ(X,Y)=-1 اگر و تنها اگر براي بعضي مقادير ثابت a,b وa،Y=Ax+b

يك سؤال:
نشان دهيد كه اگر تابع چگالي تواُم متغيرهاي تصادفي پيوسته X,Y به صورت زير
باشد
ƒ(x,y)= x+y ,0
در غير اين صورت , 0
در اين صورت X,Y وابسته خطي نخواهند بود.
چون X,Y وقتي و تنها وقتي وابسته خطي اند كه با احتمال يك ٌ(X,Y)=±1 ، لذا
كافي است ثابت كنيم . ٌ(X,Y)≠±1
براي اين منظور توجه كنيد كه ،
E(X)=∫∫x(x+y)dxdy=7/12
E(XY)=∫∫xy(x+y)dxdy=1/3
همچنين با توجه به تقارن X,Y، E(Y)=7/12
لذاCov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=1/3-(7/12)(7/12)=-1/144
همين طور
E(X²)=∫∫x²(x+y)dxdy=5/12
√(E(X²)-[E(X)]²)=√11/12 =َ
پس±1 ٌ(X,Y)=-144/(√11/12)(√11/12)=-1/11≠

توزیع گاما
توزیع گاما با پارامتر صحیح a ، زمان انتظار برای a-اُمین رخداد در یک فرآیند
پواسون است که به ازای a=1، همان توزیع نمایی، زمان انتظار برای اولین رخداد،
است.
تابع چگالی احتمال برای یک توزیع گاما معمولا به صورت زیر می باشد :

که a و b هر دو مثبت تعریف می شوند. این توزیع وقتی استاندارد نامیده می شود
که B = 1 باشد. تابع گاما که در فرمول بالا ذکر شده٬ تعریف می شود :

و این تابع یک خصوصیت مفید دارد به این شرح که :

توزیع گاما داری دو پارامتر مقیاس (B) و شکل (a) می باشد که می توانند
مقادیر غیرصحیح را نیز شامل شوند. مثلا وقتی برای تعریف مجموع تعدادی از
متغیرهای توزیع شده نمایی٬ به کار رود٬ فاکتور شکل٬ a ٬ نمایانگر تعداد
متغیرها و فاکتور مقیاس٬ B ٬ نمایانگر میانگین توزیع نمایی می باشند.

نمونه هایی از توزیع گاما برای مقدار متغیر a و مقدار ثابت B=1 را می توانید
در شکل زیر مشاهده کنید. دقت کنید که برای a <= 1 ٬ توزیع همواره نزولی است.

حال نمونه هایی از توزیع گاما برای مقدار ثابت a=2 و مقادیر متغیر B را می
توانید در شکل زیر مشاهده کنید. همانطور که در شکل می توانید ببینید٬ B
نمودار را در راستای محور x ها میکشد.

میانگین توزیع گاما برابر ضرب a و B است. واریانس آن نیز حاصل ضرب a در مربع
B می باشد.
mean = a B
variance = a B2

کاربردهای توزیع گاما را می توان تحت دو عنوان زیر تقسیم بندی کرد :
کاربردهای مبتنی بر فواصل زمانی بین رخدادها که در این حالت٬ جمع یک یا چند
متغیر نمایی می باشد. مثالهایی از این قبیل کاربرد٬ عبارتند از : مدلهای
رده بندی queuing (که در قسمت مثال توزیع نمایی هم به آن اندکی اشاره شده
بود)٬ گردش اقلام در فرآیندهای تولید و توزیع کالا٬ لود شدن وب سرورها و
حالات بسیار زیاد و متنوعی از تبادلات ارتباطی.
به عنوان مدلی در مواردی مانند آب و هوا شناسی که در اینجا مدلی کارآمد
برای میزان بارش باران می باشد یا مواردی از قبیل خدمات مالی٬ مثلا به
عنوان مدلی برای مطالبات بیمه ای یا قراردادهای وام دهی٬ و کلا مواردی که
قبلا در احتمال های مربوط به موفقیت و شکست در محاسبات ریسک پذیر٬ بکار
برده میشد.
لازم به ذکر است که توزیع نمایی٬ حالت خاصی از توزیع گاما است هنگامیکه a=1
و B = 1/lambda .
نوع خاص دیگری از توزیع گاما٬ توزیع ارلانگ می باشد که برای مدل سازی مجموع
فواصل زمانی مربوط به چندین رخداد پواسون٬ بکار می رود. در اینجا٬ پارامتر a
نمایانگر تعداد رخدادها و پارامتر B نمایانگر میانگین فواصل زمانی بین
رخدادها می باشند.

منبع: وبلاگ آمار و احتمالات مهندسی

اشنایی با ضریب همبستگی وکوواریانس و توزیع گاما...

مطالب مشابه :

سامانه پورتال دانشجویی صندوق رفاه

سیستم سلف سرویس

ثبت نام تکمیل ظرفیت کارشناسی ارشد

برگزاری اولین همایش ملی مدیریت منابع طبیعی در دانشگاه گنبد

اعلام نتایج

هرم غذایی جدید دانشگاه هاروارد

سیستم مدیریت رو سازی

اشنایی با ضریب همبستگی وکوواریانس و توزیع گاما...