تبدیلات فوریه (2)

۱) قضیه ی وینر - خین

اگر تعریف تابع خودهمبستگی (autocorrelation) C(t) تابعی نظیر  E(t) را به خاطر بیاوریم،

C(t)=int_(-infty)^inftyE^_(tau)E(t+tau)dtau.                     

همچنین می دانیم که تبدیل فوریه ی E(t) به صورت زیر است

E(tau)=int_(-infty)^inftyE_nue^(-2piinutau)dnu,                    

که همیوغ مختلط آن نیز به صورت زیر نوشته می شود:

E^_(tau)=int_(-infty)^inftyE^__nue^(2piinutau)dnu.                    

با وارد کردن  E^_(tau) و E(t+tau) به تابع خودهمبستگی آنگاه داریم

int_(-infty)^infty[int_(-infty)^inftyE^__nue^(2piinutau)dnu][int_(-infty)^inftyE_(nu^')e^(-2piinu^'(t+tau))dnu^']dtau  =  C(t)    
           
int_(-infty)^inftyint_(-infty)^inftyint_(-infty)^inftyE^__nuE_(nu^')e^(-2piitau(nu^'-nu))e^(-2piinu^'t)dtaudnudnu^'   =           
                            
int_(-infty)^inftyint_(-infty)^inftyE^__nuE_(nu^')delta(nu^'-nu)e^(-2piinu^'t)dnudnu^'   =           
                         
int_(-infty)^inftyE^__nuE_nue^(-2piinut)dnu   =           
                        
int_(-infty)^infty|E_nu|^2e^(-2piinut)dnu   =           
                          
F_nu[|E_nu|^2](t),   =           
                          

که delta تابع دلتای دیراک (Delta Function) است. تعجب آور است که خودهمبستگی به سادگی توسط تبدیل فوریه ی مربع قدرمطلق E_nu به دست آمد.

قضیه ی وینر - خین چن حالت خاصی از قضیه ی کلی تر همبستگی متقابل (cross-correlation theorem) زمانی که f=g .

۲) همبستگی متقابل

 f*g را همبستگی متقابل توابع f(t)  و g(t) می نامیم که t عددی حقیقی است که به صورت زیر تعریف می شود

f*g=f^_(-t)*g(t),                    

که * نماد کانولوشن و f^_(t) همیوغ مختلط (complex conjugate) f(t) می باشد. چون کانولوشن از طریق معادله ی زیر قابل محاسبه است

f*g=int_(-infty)^inftyf(tau)g(t-tau)dtau,                    

در نتیجه

[f*g](t)=int_(-infty)^inftyf^_(-tau)g(t-tau)dtau.             

با فرض tau^'=-tau و dtau^'=-dtau معادله ی اخیر به شکل زیر تبدیل می شود

int_infty^(-infty)f^_(tau^')g(t+tau^')(-dtau^')  =  f*g   
                 
int_(-infty)^inftyf^_(tau)g(t+tau)dtau.   =          

همبستگی متقابل در رابطه ی زیر نیز صدق می کند

(g*h)*(g*h)=(g*g)*(h*h).              

 اگر  f و  g تابعی زوج (even) باشند آنگاه

f*g=f*g,                  

که * همان کانولوشن است.

۳) قضیه ی همبستگی متقابل

با فرضیات فوق می توانیم f*g به شکل زیر بسط دهیم

int_(-infty)^inftyf^_(tau)g(t+tau)dtau  =  f*g  
              
int_(-infty)^infty[int_(-infty)^inftyF^_(nu)e^(2piinutau)dnuint_(-infty)^inftyG(nu^')e^(-2piinu^'(t+tau))dnu^']dtau   =          
                
int_(-infty)^inftyint_(-infty)^inftyint_(-infty)^inftyF^_(nu)G(nu^')e^(-2piitau(nu^'-nu))e^(-2piinu^'t)dtaudnudnu^'   =         
                         
int_(-infty)^inftyint_(-infty)^inftyF^_(nu)G(nu^')e^(-2piinu^'t)[int_(-infty)^inftye^(-2piitau(nu^'-nu))dtau]dnudnu^'   =        
                
int_(-infty)^inftyint_(-infty)^inftyF^_(nu)G(nu^')e^(-2piinu^'t)delta(nu^'-nu)dnu^'dnu   =       
                            
int_(-infty)^inftyF^_(nu)G(nu)e^(-2piinut)dnu   =      
                    
F[F^_(nu)G(nu)],   =     
               

 که F تبدیل فوریه و  z^_ همیوغ مختلط هستند. و نیز

F_nu[F(nu)](t)=int_(-infty)^inftyF(nu)e^(-2piinut)dnu   =   f(t) 
                  
F_nu[G(nu)](t)=int_(-infty)^inftyG(nu)e^(-2piinut)dnu.   =   g(t) 
                       

با بکار بردن یک تبدیل فوریه در هر طرف، قضیه ی همبستگی متقابل بدست خواهد آمد

f*g=F[F^_(nu)G(nu)].               

منابع:

Bracewell, R. "Pentagram Notation for Cross Correlation." The Fourier Transform and Its Applications, 3rd ed. New York: McGraw-Hill, pp. 46 and 243, 1999.

Papoulis, A. The Fourier Integral and Its Applications. New York: McGraw-Hill, pp. 244-245 and 252-253, 1962.  


مطالب مشابه :


تبدیل فوریه

matlab - تبدیل فوریه - یک قضیه ریاضی می گوید که تقریبا همه توابع را می توان به عنوان مجموعه ای



تبدیلات فوریه (1)

تبدیل فوریه را می توان همواره به صورت جملاتی از تبدیل cos فوریه (Fourier cosine transform)



تبدیل فوریه

همانطور که می دانید مهمترین ویژگی در ادای هر حرف فرکانس های تشکیل دهنده آن حرف می باشد.



تبدیل فوریه

مهندسی برق - تبدیل فوریه - سری فوریه، روشی در ریاضیات می‌باشد که به وسیله آن، هر تابع



تبدیل فوریه

تبدیل فوریه گسسته مختلط سیگنال s به طول N را می توان با استفاده از رابطه زیر تعریف کرد:



تبدیل فوریه

math world (جهان ریاضی) - تبدیل فوریه - دادمنش تبدیل فوریه، نامیده شده به اسم ریاضیدان ِ فرانسوی



تبدیلات فوریه (2)

که تابع دلتای دیراک (Delta Function) است. تعجب آور است که خودهمبستگی به سادگی توسط تبدیل فوریه ی



تبدیل فوریه

تبدیل فوریه، نامیده شده به اسم ریاضیدانِ فرانسوی ژوزف فوریه، یک تبدیل انتگرالی است که هر



تبدیل فوریه

بهترین های برق شیخ بهایی - تقدیم به آنان که نمیدانیم در یادشان خواهیم ماند یا برایشان خاطره



طیف سنجی مادون

طیف سنجی مادون قرمز ، روشی برای شناسایی مولکولها و بخصوص گروه عاملی مولکولهاست. هر ماده‌ای



برچسب :