بسط تیلور

در ریاضیات، سری تیلور یا گسترش تیلور (به انگلیسی: Taylor series) نمایش یک تابع به صورت مجموع بی نهایت جمله است که از مشتق‌های تابع در یک نقطه به دست می‌آید. ریاضیدان انگلیسی، بروک تیلور، در سال ۱۷۱۵ میلادی، مفهوم سری تیلور را به طور رسمی معرفی کرد. اگر سری را دور نقطه صفر گسترش دهیم، سری به سری مکلارن نیز معروف است که به نام ریاضیدان اسکاتلندی، کالین مکلارن، که در قرن 18ام استفاده بسیاری از این حالت خاص سری تیلور کرد، نام گزاری شده است. مرسوم است که توابع را حول یک نقطه با تعدادی متناهی از جملات سری تیلور تقریب بزنند. قضیه تیلور مقدار خطای این تقریب زنی را به صورت کمّی تخمین میزند. هر تعداد متناهی از جملات اول سری تیلور به چندجمله‌ای تیلور معروف است. سری تیلور یک تابع، حد چندجمله‌ای های تیلور آن است (اگر حد وجود داشته باشد.) یک تابع ممکن است با سری تیلورش برابر نباشد حتی اگر سری تیلور آن در هر نقطه همگرا باشد. تابعی که در یک بازه‌ی باز (یا یک دیسک در صفحه مختلط) با سری تیلورش برابر باشد، تابع تحلیلی خوانده میشود.

تعریف

سری تیلور یک تابع f(x) با مقادیر حقیقی یا مختلط که در همسایگی نقطه حقیقی یا مختلط x_0بی نهایت بار مشتق‌پذیر است، سری توانیِ زیر است:

f(x)= f(x_0)+\frac{f'(x_0) (x-x_0)}{1!}+\frac{f''(x_0)(x-x_0)^2}{2!}+\frac{f'''(x_0)(x-x_0)^3}{3!}+...

که میتوانیم آن را خلاصه‌تر عملگر سیگما بنویسیم:

f(x) = \sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^{n}

که در اینجا n! به معنی فاکتوریل عدد n و  f^{(n)}(x_0)    به معنی مشتق n اُم تابع f در نقطه x_0 است. طبق تعریف مشتق 0-اُم هر تابع خودش است و (x-x_0)^0 و 0! هر دو برابر 1 اند. اگر x_0=0  باشد، سری همان سری مکلورن است. هر چه درجه چند جمله ای تیلور افزایش پیدا کند، دور نقطه گسترش، تابع تقریب تیلور به تابع اصلی نزدیک‌تر می‌شود. این تصویر \sin(x) و تقریب های تیلور آن، تا توانهای 1, 3, 5, 7, 9, 11 و 13 را نشان می‌دهد.

اثبات :

فرض کنید میخواهیم تابعی چندجمله‌ای مثل P(x) مدلسازی کنیم که در همسایگی نقطه a با تابع f(x) یکریخت باشد. اول اینکه باید مقدار تابع در نقطه a با f برابر باشد پس داریم: P(a)=f(a) تا اینجا داریم P(x)=f(a) و اکنون برای اینکه تابع P در همسایگی a نیز شبیه f شود باید مشتق‌های آن در این نقطه با مشتق‌های f برابر باشد. مشتق‌های f را به صورت مضاربی از x به P اضافه میکنیم به طوری که: (1) در نقطه‌ی a برابر صفر باشند تا مدل به هم نخورد و (2) مشتق i-اُمِ P برابر با مشتق i-اُمِ f باشد. برای برقراری شرط یک و دو کافی‌ست مقدار عددی مشتق i-اُمِ f را به ضریبِ \frac{(x-a)^i}{i!} قرار دهیم. در این صورت این مقدار تا مشتق i-اُم صفر باقی خواهد ماند و چون در هر مشتق این مقدار در توانِ صورت ضرب میشود هنگامِ گرفتن مشتق i-اُم خواهیم داشت P^{(i)}(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f^{(i)}(a))(i!)\frac{(x-a)^i}{i!}=f^{(i)}(a). اگر اضافه کردن مشتقات را تا ابد ادامه دهیم تابع P بیشتر شبیه f شده تا در بینهایت هم‌ارز خود f شود.

f(x) \sim P(x)=f(a)+\frac {f'(a)}{1!} (x-a)+ \frac{f''(a)}{2!} (x-a)^2+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3+ \cdots.

یا همان:

f(x) \sim P(x)= \sum_{n=0} ^ {\infty} \frac {f^{(n)}(a)}{n!} \, (x-a)^{n}

گاهی در گرفتن حد، از یک یا دو جمله اول گسترش تیلور یک تابع دور نقطه حدگیری، به عنوان یک هم‌ارزی استفاده میکنند. به عنوان مثال در گسترش تیلور تابع sin(x) دور نقطه 0 داریم:

\sin (x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots\text{ for all } x\!

پس در حد گرفتن، هرجا کمان sin(x) به سمت صفر میل کند داریم:

\sin (x) \sim x - \frac{x^3}{3!}

تابع نمایی (به رنگ آبی) و مجموع n+1 جمله اول سری تیلور دور نقطه 0 (به رنگ قرمز)

نمونه:

 

تابع نماییe^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots\text{ for all } x\!لگاریتم\log(1-x) = - \sum^{\infin}_{n=1} \frac{x^n}n\text{ for } -1\le x<1\log(1+x) = \sum^{\infin}_{n=1} (-1)^{n+1}\frac{x^n}n\text{ for }-1<x\le1دنبالهٔ هندسی متناهی\frac{1-x^{m + 1}}{1-x} = \sum^{m}_{n=0} x^n\quad\mbox{ for } x \not= 1\text{ and } m\in\mathbb{N}_0\!دنبالهٔ هندسی نامتناهی\frac{1}{1-x} = \sum^{\infin}_{n=0} x^n\text{ for }|x| <1\!متغیرهای دنبالهٔ هندسی نامتناهی\frac{1}{1-x} = \sum^{\infin}_{n=0} x^{-n}\text{ for }|x|> 1\!\frac{x^m}{1-x} = \sum^{\infin}_{n=m} x^n\quad\mbox{ for }|x| <1 \text{ and } m\in\mathbb{N}_0\!\frac{x}{(1-x)^2} = \sum^{\infin}_{n=1}n x^n\quad\text{ for }|x| <1\!\frac{1}{(1-x)^2} = \sum^{\infin}_{n=1}n x^{n-1}\quad\text{ for }|x|> 1\!ریشهٔ مربع\sqrt{1+x} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(2n)!}{(1-2n)(n!)^2(4^n)}x^n = 1 + \textstyle \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16} x^3 - \frac{5}{128} x^4 + \dots\text{ for }|x|\le1بسط دو جمله‌ای(1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^\infty {\alpha \choose n} x^n\quad\mbox{ for all }|x| <1 \text{ and all complex } \alpha\!توابع مثلثاتی\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots\text{ for all } x\!\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots\text{ for all } x\!\tan x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1} = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \cdots\text{ for }|x| <\frac{\pi}{2}\!\sec x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}\text{ for }|x| <\frac{\pi}{2}\!\arcsin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\text{ for }|x| \le 1\!\arccos x ={\pi\over 2}-\arcsin x={\pi\over 2}- \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\text{ for }|x| \le 1\!\arctan x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}\text{ for }|x| \le 1\!توابع هذلولی\sinh x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots\text{ for all } x\!\cosh x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots\text{ for all } x\!\tanh x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1} = x-\frac{1}{3}x^3+\frac{2}{15}x^5-\frac{17}{315}x^7+\cdots \text{ for }|x| <\frac{\pi}{2}\!\mathrm{arsinh} (x) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\text{ for }|x| \le 1\!\mathrm{artanh} (x) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^{2n+1}}{2n+1} \text{ for }|x| <1\!

 

 

 

 


مطالب مشابه :


بسط و سری

بسط تیلور. از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد. پرش به: ناوبری, جستجو. sinx و بسط تیلور آن، تا توانهای



بسط تیلور

زرین - بسط تیلور - علمی فرهنگی وسیاسی در ریاضیات، سری تیلور یا گسترش تیلور (به انگلیسی: Taylor



بسط تیلور سینوس و کسینوس

کارشناسی عمران - بسط تیلور سینوس و کسینوس - - کارشناسی عمران . کارشناسی عمران . صفحه



سری فوریه و تیلور

مخابرات - سری فوریه و تیلور - - مخابرات در ریاضیات، سری تیلور یا گسترش تیلور (به انگلیسی



برنامه بسط تیلور

وب سایت شخصی سید مجتبی اکبرنژاد - برنامه بسط تیلور - برنامه نویسی و مقالات عمران و کامپیوتر .



انواع تابع

یک تابع تحلیلی یک تابع بینهایت بار مشتق پذیراست به این صورت که سری تیلور در بسط سری



اعداد مختلط

یک مطلب: ثابت میکنیم ، .(فرمول زیبا و معروف اویلر) اثبات : ابتدا ، با توجه به بسط تیلور ، توابع



برچسب :