آموزش ریاضی سوم - معادله خط

.:: معادله های خطی ::.

معادله خط: (Line equation) رابطه ی بین طول (X) و عرض (Y) نقاط واقع بر یک خط را معادله ی آن خط می گویند که به صورت یک تساوی نوشته می شود .

مثال: به خط L توجه کنید . نقاط روی این خط قرار دارند .مشاهده می کنیم که طول و عرض این نقاط با هم مساویند . هر نقطه ای که طول و عرض آن مساوی باشد بر خط L قرار می گیرد و هر نقطه ای که روی خط L باشد طول و عرض آن مساوی است.

اگر طول هر نقطه را با X و عرض آن را با Y نشان دهیم ، رابطه Y=X را معادله ی خط (L) می نامیم. این تساوی، رابطه ی بین طول و عرض نقاط را مشخص می کند.

انواع خط:

در هر یک از تصاویر زیر به خط رسم شده توجه کنید .مختصات نقاط داده شده از خط را بیان کنید و معادله ی خط را بنویسید.

تصویر 1:

حل:

نکته: این نوع خط ها موازی محور طول ها هستند و معادله ی آن ها به صورت Y=b نوشته می شود . (b یک عدد ثابت برای همه ی نقاط می باشد.)

مانند 1=Y=-2 ، y و ........◦

تصویر2:

حل:

نکته: این نوع خط ها موازی محور عرض ها هستند و معادله ی آن ها به صورت x=a نوشته می شود. (a یک عدد ثابت برای طول همه ی نقاط می باشد.)

مانند 1=X=-2 ، X و ........◦

تصویر3:

حل:

نکته: این نوع خط از مبدأ مختصات می گذرد و معادله ی آن به صورت Y=mx نوشته می شود.

مانند:

تصویر 4:

حل:

نکته: این نوع خط نه موازی محوری است، نه از مبدأ مختصات می گذرد و معادله ی آن به صورت Y=mx+n می با شد. مانند:

دانش آموزان عزیز: انواع دیگری از خط را که به نظرتان می رسد در یک صفحه ی مختصات رسم کنید و در مورد معادله خط مربوط به هر کدام تحقیق کنید.

صورت استاندارد معادله خط:

هر رابطه ی درجه ی اول بین X و Y مانند: 1-Y=2x و 6=3x+Y را معادله ی خط گو یند صورت استاندارد معادله ی خط Y=mx+n می باشد که در آن m و n دو عدد معلوم و مشخص هستند.صورت دیگر معادله ی خط ax+by=c می باشد که در آن c و b و a سه عدد معلوم می باشند که با هم صفر نیستند و آنرا معادله ی خطی یا معادله ی ضمنی می نامند.

رسم خطی که معادله ی آن داده شده است:

برای رسم یک خط راست به ترتیب زیر عمل می کنیم .

الف:مختصات دو نقطه ی دلخواه آن خط را پیدا می کنیم .

ب:جای این دو نقطه را درصفحه ی مختصات مشخص می کنیم .

ج: این دو نقطه را به هم وصل کرده از دو طرف امتداد می دهیم.

مثال:در هر یک از تصاویر زیر معادله ی یک خط داده شده است. نمودار هر یک از خط های داده شده را رسم کنید.

تصویر 1: Y=۲x+۵

حل:ابتدا عدد های مختلفی به x می دهیم و عدد های نظیر آن ها را برای y به دست می آوریم.

تصویر 2: x+۲y=۴

حل:پیشنهاد:در این معادله ،ابتدا به x عدد صفر را می دهیم و جواب نظیر آنرا برای y بدست می آوریم و سپس بر عکس عمل می کنیم ،به yعدد صفر می دهیم و جواب نظیر آنرا برای x بدست می آوریم.

تصویر 3:

پیشنهاد: در این معادله، ابتدا به X عدد صفر را می دهیم و جواب نظیر آن را برای Y بدست می آوریم و سپس به X عدد 3 را می دهیم، (مخرج کسر) وجواب نظیر آن را برای Y بدست می آوریم.

تصویر 4:

حل: این معادله را می توانیم به صورت استاندارد بنویسیم و سپس آن را رسم کنیم:

تصویر 5: y=۳

حل: این معادله نشان می دهد که عرض همه ی نقاط برابر 3 می باشد.

تصویر 6: X=-۲

حل:این معادله نشان می دهد که طول همه ی نقاط برابر 2- می باشد

شیب خط: (gradient of a line)

شیب به معنی سرازیری است (مقابل فراز) و در ریاضیات هر چه زاویه ای که خط با محور افقی می سازد بیشتر باشد ، شیب خط بیشتر است و بر عکس هر چه زاویه ای که خط با محور افقی می سازد کمتر باشد ، شیب خط نیز کمتر است.

در این پارک کدام سرسره شیب بیشتری دارد ؟

در صفحه ی مختصات زیر کدام خط شیب بیشتری دارد؟

با توجه به خط های بالا y=۳x بیشترین شیب را دارد در مقایسه ی ضریب x مشاهده می کنیم که می باشد یعنی: هر چه ضریب x بیشتر باشد شیب خط بیشتر است و هر چه ضریب x کمتر باشد شیب خط کمتر است به طور کلی می توان گفت: اگر معادله ی خطی به صورت y=ax+b نوشته شود، عدد a که ضریب x می باشد، شیب خط نام دارد .

عرض از مبدأ: (y-intercept)

فاصله ای که خط از مبدأ گرفته و محور عرض ها را قطع می کند را عرض از مبدأ خط می گویند.

به عبارت دیگر: عرض نقطه بر خورد خط با محور y ها را عرض از مبدأ گویند.

در صفحه ی مختصات زیر محل بر خورد هر خط با محور عرض ها مشخص شده است.

اکنون نقطه های A و B و C را با معادله ی مربوط به هر خط مقایسه کنید.

به طور کلی می توان گفت :عدد b در معادله ی y=ax+b را عرض از مبدأ این خط می نامیم .اگر خط از مبدأ مختصات بگذرد عرض از مبدأ آن صفر می شود و معادله ی خط به صورت y=ax در می آید.

1- اگر مختصات یک نقطه در معادله خط صدق کند, آنگاه آن نقطه متعلق به خط می باشد.

مثال: آیا نقطه روی خط قرار دارد؟

حل: بله نقطه A روی خط واقع است. اگر به جای y و x در معادله خط طول و عرض نقطه را قرار دهیم, به یک رابطه درست می رسیم.

2- دو خط را در نظر می گیریم:

الف) دو خط بر هم منطبق اند, اگر 'b=b' , a=a باشند.

ب) دو خط با هم موازی اند, اگر 'b≠b' , a=a .

ج) دو خط بر هم عمودند, اگر 1-='a×a

مثال: دو خط y=5x+2 و y=5x+2 برهم منطبق هستند.

دو خط y=5x+2 و y=5x-1 باهم موازی هستند.

دو خط y=5x+2 و بر هم عمود هستند.

3- شیب خطی که از دو نقطه ی می گذرد،از رابطه ی زیر بدست می آید:

مثال:در شکل مقابل شیب خط (d) را حساب کنید.

4- معادله ی خطی که از مبدأ مختصات و نقطه ی می گذزد ، به صورت می باشد.

مثال:معادله ی خطی را بنویسید که از مبدأ مختصات و نقطه ی می گذرد؟

حل: معادله ی خطی که از مبدأ مختصات می گذرد به صورتy=ax می باشد، و با توجه به نکته ی قبل می توان شیب خط را مشخص کرد.

5- معادله خطی که شیب آن a باشد و از نقطه ی بگذرد ،از رابطه ی زیر بدست می آید:

مثال:معادله ی خطی را بنویسید که شیب آن 2 باشد و از نقطه ی بگذرد.

حل:(y-(-۱)=۲(x-۱

y+۱=۲x-۲

y=۲x-۲-۱

y=۲x-۳

6- معادله ی خط محور طول ها به صورتy=0 و معادله خط محور عرض ها به صورت ◦ = x می باشد.

7- اگر در هر معادله ی خط به طول مقدار صفر بدهیم ، انگاه برای عرض مقداری مشخص می شود که «عرض از مبدأخط»می باشد و اگر در یک معادله ی خط به عرض مقدار صفر بدهیم ،آنگاه برای طول مقداری مشخص می شود که «طول از مبدأخط »می باشد.

مثال:عرض از مبدأ و طول از مبدأ خط را بدست آورید.