ماتریس

ماتریس

ماتریس عبارت است از آرایشی (آرایه‌ای) مستطیل شکل از اعداد مختلط به طوری که عناصر این آرایه را درایه می‌نامیم و عنصر واقع در سطر b4cc3e54c8521e663f60000a412bf84b.png ام و ستون d642fb4453ded7440133cccb810b48c3.png ام را با نماد 310ac0825073dc689574f16c814f7943.png نشان می‌دهیم.
ماتریسی که دارای 4137b8cbe28d0b61ce44b64209c85b0c.png سطر و f120302f595acc3d7b0e4b5b7c4320d5.png ستون باشد را ماتریس از مرتبه 4137b8cbe28d0b61ce44b64209c85b0c.png در f120302f595acc3d7b0e4b5b7c4320d5.png می‌نامیم.( bfcce837b39513a3510eafb289e6621e.png )

نکته

هرگاه a8b3e5f04778af57a4ef175f53b1ee7d.png آنگاه ماتریس را مربع از مرتبه f120302f595acc3d7b0e4b5b7c4320d5.png می‌نامیم.
یک ماتریس bfcce837b39513a3510eafb289e6621e.png را بصورت a3957439f46ea28a260f6b7c436eb01c.png نمایش می‌دهیم.

تاریخچه

مطالعه روی انواع خاصی از ماتریسها مانند مربعهای جادویی و مربعهای لاتین ، به تاریخ قبل از میلاد نسبت داده شده است. معرفی و تکامل نمایش ماتریسها به عنوان شاخه‌ای از جبر خطی در نتیجه مطلعه روی ضرایب سیستم معادلات خطی و الگوها و روشهای حل آنها بوجود آمد. لایب نیتس به عنوان یکی از پایه گذاران علم حسابان در سال 1693، دترمینان ماتریسها را معرفی کرد.

در ادامه کرامر روش خود را برای حل دستگاه معادلات خطی بر اساس دترمینان ماتریس ضرایب دستگاه معرفی کرد. این روش که به روش کرامر مرسوم است، بر اساس استفاده صریح از دترمینان ماتریس ضرایب معرفی گردیده است. در مقابل اولین استفاده ضمنی از ماتریسها توسط لاگرانژ برای تعیین ماکزیمم و مینیمم توابع چند مقداری مورد استفاده قرار گرفت. در ادامه گاوس روش حذفی خود را برای حل مسائل کمترین مربعات که کاربردهای بسیار وسیعی در علوم سماوی و ژئودوزی دارد را معرفی کرد.

روابط بین ماتریس‌ها

تساوی دو ماتریس

دو ماتریس 89b4dcb417cc583e353fe28cec0791b7.png وa13eba56dd3da61b694094b5996356dd.png مساوی اند اگر و فقط اگر 84adb545d02bcf600563b8cd5c1393d6.png(هم مرتبه باشند) و3de5b64a16f526a67ebeb93a24c1c542.png

جمع دو ماتریس

اگرa3957439f46ea28a260f6b7c436eb01c.png و95650151fe49a6fbd75a51c00847126e.png آنگاه 67899dfae7732ac28ac66033e9a8a70d.png

قرینه ماتریس

اگر 029ca4415207599de5c5bb3632341cc2.png آنگاه قرینه a71f12f397ddd1f9c6c9bc6bf5ade344.png را بصورت زیر تعریف می‌کنیم:

40b23775a791ef14356dc747dc9abeb1.png


 

ضرب اسکالر در ماتریس

اگر a3957439f46ea28a260f6b7c436eb01c.png وd54c801b9b4adcc32bac63c381fde3c2.png یک اسکالر باشد آنگاه688a5697cd99c7035a82c956a6ed5516.png
در ضرب اسکالر یک عدد در یک ماتریس ضرب می‌شود. در این نوع ضرب تمامی عناصر ماتریس در آن عدد ضرب می‌شوند به عنوان مثال:

و نمایش ریاضی آن به صورت زیر می باشد:

cA)ij = c(A)ij)


 

ضرب ماتریس‌ها

اگر a3957439f46ea28a260f6b7c436eb01c.png و 27770d1c5f64bf2b8bbb467ea6733d9b.png آنگاه ضرب دو ماتریس را با علامت b480977d529a45aa6bbae64b7d1bb09c.png نمایش داده و بصورت زیر تعریف خواهیم کرد:

cbbf1a0ee1750c4f766b8b97ee4cf5bc.png



در این نوع هر دو ضرب شونده و ضرب کننده از نوع ماتریس می‌باشند. بطور مشابه ضرب دو ماتریس نیز باید یک جنبه خوش تعریفی داشته باشد. ضرب دو ماتریس داده شده A و B زمانی خوش تعریف است که تعداد ستونهای ماتریس ضرب کننده با تعداد سطرهای ماتریس ضرب شونده برابر باشند. بر این ضرب دو ماتریس که شرایط قابل ضرب بودن را داشته باشند به صورت زیر بیان می‌شود:

برای بدست آوردن عنصر روی سطر iام و ستون y ام ماتریس خاصل ضرب عناصر روی سطر iام ماتریس ضرب کننده و عناصر روی ستون j ام ماتریس ضرب شونده را در نظر گرفته و آنها در هم ضرب و جمع می کنیم. به صورت ریاضی حاصلضرب دو ماتریس بصورت زیر نمایش داده می شود:

A × B)ij = (A)i1(B)1j + (A)i2(B)2j + ... + (A)in(B)nj)


بطور ساده‌تر می‌توان ماتریس ضرب کننده را به صورت مجموعه ای از بردارهای نظری و ماتریس ضرب شونده را به صورت مجموعه‌ای بردارهای ستونی در نظر گرفت.

انواع ماتریس

ماتریس صفر

ماتریسی که تمام درایه های آن صفر باشد را ماتریس صفر نامیده و ماتریس صفر از مرتبه bfcce837b39513a3510eafb289e6621e.png را با نماد 9de235f59d96d5da4152d7ab2529834b.png نمایش می‌دهیم و داریم 51db8aa9df6d81516d623e69f5f80603.png

ماتریس همانی

ماتریس مربع 1aed0abd872f3845732237cfd25c94e3.png از مرتبه f120302f595acc3d7b0e4b5b7c4320d5.png را همانی گوییم هرگاه312d7fcb46c7d34f6f7e2e602ceaff9e.png وبه ازای هر 04f3a49883de0f92b870eed40ffd5f07.png داشته باشیم 0ff1f81eecc84094b5857264e47b65d5.png

ماتریس اسکالر

اگر d54c801b9b4adcc32bac63c381fde3c2.png یک اسکالر و 1aed0abd872f3845732237cfd25c94e3.png ماتریس همانی از مرتبهf120302f595acc3d7b0e4b5b7c4320d5.png باشد آنگاه f607713d33ea8c59c849465a50027279.png را ماتریس اسکالر می‌نامیم.

ماتریس وارون پذیر

ماتریس مربع 58cb45825bf6cf8124e22db86d82c7e3.png را وارون پذیر می‌نامیم هرگاه ماتریس مربع 682488f36eb7e479f5121a18c2d51990.png یافت شود به طوری که b760ecf89f382be60c5b6d3af1a15d3c.png .دراین صورت 3c87ba493fd840ce39c5283a94d765bc.png را وارون a71f12f397ddd1f9c6c9bc6bf5ade344.png می‌نامیم.

ماتریس قطری

ماتریس مربعی a71f12f397ddd1f9c6c9bc6bf5ade344.png را قطری نامیم هرگاه عناصر روی قطر اصلی همگی غیر صفر باشند و عناصر غیر از قطر اصلی صفر باشند.

چند خاصیت از ماتریس ها

اگر7a46dda61faaa9b2dc7ec9a31ae29cb8.png سه ماتریس bfcce837b39513a3510eafb289e6621e.png و164fa0f1b82aa813d252fd5511865ad3.png دو اسکالر باشند آنگاه:

e2f827188b9603d3097a1c2bd3e23ebe.png


 

47a1c0c83c9581da1478ad289eca628c.png


 

2b9455d4b4d82a0865690f84ca2f279e.png


 

26c3a6c7b2000627e6395632da14b9ae.png


 

69d716fb6769ae326206575b836d38e6.png


 

c05aeb02ce36c876f7ca5275ddaf7c65.png


 

f73231544f239a4ff6ee484ac268580c.png


 

a8f39016fd5e423f489c87b84564890a.png



اگر ef70e8eb0d72d9b66e675f45cdc32e47.png آنگاه ca1f2b74c554d1c9a30d734397abf854.png

اگر 6bb194c220292fe006e7b982e85e2790.png آنگاه 1df64194413a5a962bf41611c7b7ee77.png

اگر c777d570db0063134ff050a8436df571.png انگاه 158bc1c1a47f4202d0f395d39bc06517.png

در حالت کلی ضرب ماتریس‌ها خاصیت جابجایی ندارد.(حتی اگر bbcd1bcda75cc3f5e5f8df443b6d5af6.png تعریف شده باشند و این در حالتی ممکن است که63e46ed826a0d10037570841cefc61d1.png دو مربع هم مرتبه باشند.)

انواع ماتریسها  

ماتریس مربعی

ماتریسی است که تعداد سطرها و ستونهای آن با هم برابر باشد.

ماتریس سطری

ماتریسی است که یک سطر دارد. مثلا

4c797585fdd28bcbb586ecea53378515.png

 ماتریس ستونی

ماتریسی است که یک ستون دارد. مثلا

869891a083b88a1a29c00a44d22e79ee.png

ماتریس c4afbcd64e3a10871776c84297f77aa6.png

ماتریسی است که فقط یک عضو دارد. مثلا

f7e21167a154aff42fa4444401f453fc.png

 ماتریس صفر

تمام عضوهای آن ماتریس برابر صفر می‌باشد. این ماتریس در جمع ماتریسها حکم عدد صفر را در جمع اعداد حقیقی دارد یعنی عضو خنثی است.

d675b3fc871e629b2fed076f1a269647.png

 ماتریس واحد یا یکه

ماتریسی است مربعی که عضوهای قطر اصلی آن همگی برابر با یک و بقیه عضوهای آن برابر صفر می‌باشد. این ماتریس را با I نشان می‌دهند. مثلا

86a67318ec7fc64cd673ac46e1c739ae.png

!ماتریس قرینه
اگر ماتریسی را در عدد 1- ضرب کنیم قرینه آن ماتریس بدست می‌آید. بعبارت دیگر قرینه یک ماتریس ، ماتریسی است که عضوهای آن قرینه عضوهای ماتریس اصلی باشند.

ماتریس قطری

ماتریسی است مربعی که قطر اصلی آن اعداد حقیقی بوده و سایر عضوهای آن برابر صفر باشد. مثلا

68d4ab96f08e432f95f75f13fad8dde8.png


 ماتریس عددی یا اسکالر

ماتریسی است قطری که عضوهای قطر اصلی آن برابر باشند. مثلا

8918d18802423db1e2275751efd08abc.png

 ماتریس منفرد

ماتریسی است مربعی که دترمینان آن برابر صفر باشد. یعنی ff81b48048f700ddb80cf55a7507e10d.png

ماتریس غیرمنفرد یا وارون‌پذیر

اگر در یک ماتریس مربعی دترمینان آن صفر نباشد به آن ماتریس غیرمنفرد می‌گویند. یعنی e91246612baaa61e37d1d82efc61bf74.png

ماتریس معکوس یا ماتریس وارون

ماتریس مربعی A را در نظر می‌گیریم اگر ماتریسی مانند B پیدا شود بطوریکه داشته باشیم AB=BA=I به ماتریس B وارون یا معکوس ماتریس A می‌گویند معمولا ماتریس معکوس A را بصورت 9e687b97749fdf1f55587cfe98586f84.png نشان می‌دهند و در نتیجه داریم:

1d5c210cb228b36d6f448507f071b846.png

ماتریس همسازه

اگر در یک ماتریس مربعی به جای هر عضو ، کوفاکتور آن را قرار دهیم ماتریسی بدست می‌آید که به آن همسازه می‌گویند. ماتریس همسازه A را با N نمایش می‌دهند.


e10fec782890eb0dfd1c9fd3d5021362.png
13f1490b9c82853e8cc6193e30a94389.png
برای هر 310ac0825073dc689574f16c814f7943.png در ماتریس 2e16dbe63f6dfdaced6784a6506bff2c.png ، همسازه 310ac0825073dc689574f16c814f7943.png برابر است با عدد
کوفاکتور عضو 310ac0825073dc689574f16c814f7943.pngb9e7c3e9ee13b0d6a21ce2315db6b9ec.png
بطوریکه ، 6e13de22c1205f722e46e5efce04c887.png را دترمینان ماتریس حاصل از حذف سطر i ام و ستون j ام ماتریس A می‌توان تعریف کرد.

ماتریس وابسته یا الحاقی

به ترانسپوزه ماتریس همسازه A ماتریس وابسته A می‌گویند و آن را با 64cba058baa317bf497e3b8a4568299b.png نشان می‌دهند.

ماتریس متقارن

اگر ترانسپوزه یک ماتریس با آن ماتریس برابر باشد آن ماتریس را متقارن می‌نامند بعبارت دیگر ماتریس A متقارن است در صورتیکه 8934ea0fe616b06ded9d159bf3697126.png باشد. اگر در ماتریس جای سطرها و ستونها را عوض کنیم و ماتریس تغییر نکند به آن متقارن می‌گویند.

ماتریس ضدمتقارن یا آنتی‌متقارن

هرگاه قرینه ترانسپوزه ماتریس A برابر A شود، به آن ماتریس ضدمتقارن می‌گویند و داریم c64a552e0d4ad60899926cb44895be84.png

ماتریس پایین مثلثی

اگر در یک ماتریس مربعی تمام عضوهای بالای قطر اصلی صفر باشند به آن ماتریس پایین مثلثی می‌گویند یعنی 7e59f7daf7a94d08585cc56a9d1deb3d.png

ماتریس بالا مثلثی

اگر در یک ماتریس مربعی تمام عضوهای پایین قطر اصلی صفر باشند به آن ماتریس بالا مثلثی می‌گویند. یعنی89916035d4bea17324c0e63b18c64f26.png

ماتریس متعامد

اگر در ماتریس مربعی A داشته باشیم bded7837ec19a26b8702e82e0bc67f00.pngبه ماتریس متعامد می‌گویند.

 

منبع: ریاضیات و فیزیک


 


مطالب مشابه :


معکوس ماتریس 3 در 3

Inverse of 3x3 Matrix. برای پیدا کردن معکوس ماتریس 3 در 3 ، ابتدا دترمینان آن را حساب می کنیم.اگر



معکوس ماتریس 3 * 3 و بالاتر ( n * n )

در طی پست های قبل با نحوه به دست آوردن دترمینان یک ماتریس، ماتریس کهاد، ماتریس همسازه و



روشهای محاسبه دترمینان

برای حساب کردن دترمینان ماتریس 3 در 3 یه بار تابع رو با n = 3 فراخوانی می کنیم .



بدست آوردن معکوس ماتریس

Inverse of 3x3 Matrix. برای پیدا کردن معکوس ماتریس 3 در 3 ، ابتدا دترمینان آن را حساب می کنیم.اگر



بدست آوردن وارون یا معکوس یک ماتریس

اما مسئله مهم این است که اینجا میخواهیم معکوس ماتریس 3*3 رو سه در سه, دترمینان ماتریس 3, 3



راهنمایی درمورد برنامه محاسبه دترمینان ماتریس (به درخواست محمد رضا)

برای حساب کردن دترمینان ماتریس 3 در 3 یه بار تابع رو با n=3 فراخوانی می کنیم .



ماتریس

این روش که به روش کرامر مرسوم است، بر اساس استفاده صریح از دترمینان ماتریس اگر در ماتریس



محاسبه دترمینان یک ماتریس

دترمینان ماتریس مربعی - که به صورت | A | یا ام معکوس a 11 و ضرب آن در دترمینان ( T 3 ( n - 1:



برنامه محاسبه معکوس ماتریس n * n ( زبان C# )

بکنیم این است که معکوس دترمینان ماتریس ورودی را در یک عدد در ماتریس می تواند با



برچسب :