نمونه سوالات وجزوه ریاضی عمومی

آموزش ریاضی عمومی بطور تکمیلی همراه با توضیحتعبیر هندسی مشتق : مفهوم مشتق یک تابع را می توان شیب خط مماس بر نمودار تابع در آن نقطه تعبیر کردLim f(a+h) – f (a) => h شیب خط مماس بر نمودار f در نفطه x = a را با m(a) = f ´(a) نشان می دهیمشیب خط قائم ( عمود) بر نمودار با m´(a) نشان می دهیم m´= -1 m مثال : معادله خط مماس و قائم بر منحنی f(x) = x³ – 2x را در نقطه x = 1 بدست آوریدمشتق گیری ضمنی : توابعی که بصورت واضح بر حسب y = f(x) تعریف نمی شوند برای محاسبه مشتق از رابطه زیر استفاده می کنیم Y ´ = f ´(x) = - fx = x مشتق تابع نسبت به fy y مشتق تابع نسبت بهمثال : مشتق تابع زیر را بنویسیدF(x,y)=2x³ +xy² +y -3 = 0روش دوم مشتق گیری ضمنی :از همه جملات نسبت به x,y همزمان مشتق می گیریم سپس y ´ را بدست می آوریممثال :F(x,y)=2x³ +xy² +y -3 = 0مشتق تابع مرکب :هرگاه f,g توابع مشتق پذبر باشند مشتق تابع مرکب fog نسبت به x با فرض U = g(x) و y = fog (x) = f(u) به صورت زیر محاسبه می شود dy = df(u) × du dx du dxy = f(g(x) ) => y ´ = f ´(g(x) ) × g ´ (x)یک بار مشتق f را بدست می آوریم ، یک بار مشتق داخل پرانتز(x) مثال : اگر f (x) = √ x و g (x) = x² + 5x باشد مشتق fog = ؟روش حل مشتق fog : ابتدا f´(x) را حساب کرده بجای x های f ´ مقدار g را قرار می دهیم . سپس در فرمول ( fog (x) ) ´ = f ´(g (x))g ΄ (x) جایگزاری می کنیم g΄مشتق g استمثال : اگر f (x) = x³ مشتق تابع f (sin x) را حساب کنیدمشتق گیری پارامتری : X = f ( t ) معادلات را معادلات یرامتریث گویند ( یعنی بر حب t نوشته شده است ) y = g ( t )برای محاسبه dy ( همان مشتق ) در یک تابع پارامتری از روش زیر استفاده می کنیم dx dy dy = dt . dt dx dt مثال : در تابع y = t² + 5 مقدار dy را بدست آورید X = 2t + 1 dx قاعده زنجیره ای :اگر y = f ( u ) و u = g ( x) مشتق پذیر باشد آنگاه dy = df × du dx du dxمثال : f (u ) = 2u – 3u² + 7 و u = 2x³ - x + 5 df را حساب کنید dx قضایای مشتق :1- f (x) = secX → f΄ (x) = secx . tgx2- f (x) = cscX → f΄ (x) = - csex . cotx3- f (x) = sin X → f΄ (x) = . 1 . √ 1 - x4- f (x) = cos X → f΄ (x) = . - 1 . √ 1 - x5- f (x) = tg X → y΄ = . 1 . 1 + x²6- f (x) = cot X → y΄ = . - 1 . 1 + x²7- f (x) = sec X → f΄ (x) = . 1 . اxا √ x² - 18- f (x) = sec X → f΄ (x) = . - 1 . اxا √ x² - 19- f (x) = sin hx → f΄ (x) = cos hx10- f (x) = cos hx → f΄ (x) = sin hx11- f (x) = tg hx → f΄ (x) = 1 – tgh²x12- f (x) = cot hx → f΄ (x) = 1 – cot²xکاربرد مشتق :توابع سعودی و نزولی قضیه آزمون یکتایی : فرض کنیم f در { a , b } پیوسته است و در بازه ( a , b ) مشتق پذیر باشد آنگاه به ازتی هر بازه a, b اگر F΄x مثبت باشد تابع سعودی است و به ازای هر باره a , b اگر F΄x منفی باشد تابع نزولی استمثال : تعین کنید تابع زیر در چه نقاطی سعودی با نزولی استF(x) = 3x² + 5تعریف : نقطه a را نقطه بحرانی تابع f گ.یم هرگاه یکی از شرایط زیر برقرار باشد1 ) : f΄ (a) = 02 ) : f΄ (a) وجود نداشته باشدمثال :نقطه بحرانی تابع زیر را پیدا کنیدF(x) = 2x³ -4F(x) = (x-1)⅔ - 3F(x) = 1 . x-2F(x) = x³+3x²-2ماکسیمم و مینیمم تابع :تعریف : تابع f در نقطه X=C یک ماکسیمم نسبی دارد یا موضعی دارد . یعنی همه مقادیر تابع از یک نقطه در تابع کوچکتر استتعریف : تابع f در نقطه X=C یک مینیمم نسبی دارد. یعنی همه مقادیر تابع از یک نقطه در تابع بزرگتر استتعریف : اگر تابع f در نقطه X=C ماکسیمم و یا مینیمم نسبی داشته باشد F در C یک اکسترمم نسبی یا موضعی دارد . F(c) را مقدار اکسترمم نسبی f در نقطه X=C می نامیمقضیه : اگر تابع f در X=C اکسترمم نسبی داشته باشد و F΄(c) موجود باشد آنگاه F΄(c) = 0 استتعبیر هندسی نقاط اکسترمم :اگر تابع f در نقطه x=c مشتق پذیر باشد و در این نقطه اکسترمم نسبی داشته باشد آنگاه مماس بر نمودار y=f(x) در نقطه ( C , F(c) ) افقی استتذکر : عکس قشیه بالا برقرار نیست یعنی تابعی مانند f وجود دارد که F΄(x) به ازای مقادیری از x صفر است ولی تابع ماکسیمم یا مینیمم نسبی در این نقاط نداردمثال :F(x) = ( x – 1 )³نتیجه : فرض می کنیم f در نقطه c تعریف شده باشد شرط لازم برای اینکه تابع f در نقطه c اکسترمم داشته باشد این است که C نقطه بحرانی باشد یعنی مشتق در نقطه c صفر باشد یا اینکه مشتق در نقطه c موجود نباشدقضیه آزمون مشتق اول برای اکسترمم نسبی : فرض کنید تابع f دربازه بازی از نقطه بحرانی c مانند (a , b) پیوسته باشد و در تمام نقاط آن جز احتمالا در C مشتق پذیر باشد آنگاه این شرایط برقرار است1- اگر (x) ´ F در ( a,b ) مثبت و در (a,b) منفی باشد آنگاه F در X = C ، ماکزیمم نسبی دارد2- اگر (x) ´ F در ( a,b ) منفی و در (a,b) مثبت باشد آنگاه F در X = C ، مینیمم نسبی دارد3- اگر 1 یا 2 بر قرار نباشد آزمون نتیجه ای ندارد و max و min نداردمثال : با استفاده از آزمون مشتق اول Max , min نسبی را پیدا کنیدF(x) = 1 x³ - 5x² + 6x +1 3 2روش حل : ابتدا از معادله مشتق می گیریم . معادله را برابر با صفر قرار می دهیم و ریشه معادله را پیدا می کنیم . همیشه در معادلات مزدوج برای بدست آوردن ریشه معادله عدد اولی جمع و عدد دومی را ضرب در نظر می گیریم و جمع آن عدد ها در ریشه و ضرب آن عددها در ریشه معادله را می نویسیم و مقدار F را برای ریشه های بدست آمده را بدست می آوریم و در آخر در جدول تعین علامت نقاط ماکس و مینمم را بدست می آوریممثال :با استفاده از آزمون اول ماکس و مینیمم را پیدا کنیدF (x) = 4- 3x x ≥ 1 1 (x²+1) x 2چون تابع چند ضابطه ای است ابتدا باید شرط پیوستگی را پیدا کنیمشرط پیوستگی این است که مشتق از طرف مثبت و طرف منفی برابر باشدقضیه آزمون مشتق دوم برای اکسترمم های نسبی :فرض کنیم C یک نقطه بحرانی تابع F باشد و مشتق در F´(c) = 0 و همچنین F´ و F" در بازه باز شامل C وجود داشته باشد1- F" (c) باشد و F در C ماکس نسبی دارد2- F" (c) > 0 باشد و F در C مینیمم نسبی دارد3- اگر F´(c) = F"(c) = 0 باشد آنگاه آزمون تنتیجه ای نداردمثال :اگر F(x)= x³ - 6x² + 9X + 3 باشد با استفاده از آزمون مشتق دوم ماکس و مینیمم نسبی را بدست آوریدتوضیح حل مسئله : ابتدا مشتق را محاسبه کرده ، مساوی صفر قرار می دهیم ، ریشه های آن را تعین کرده سپس بعد از محاسبه مشتق دوم ریشه های بدست آمده را از مشتق لول ر داخل مشتق دوم قرار می دهیم و با توجه به آزمون دوم نقاط ماکس و مینیمم را پیدا می کنیمتعریف : F (c) ماکزیمم مطالق روی دامنه اش می گوئیم هرگاه به ازای هر x از دامنه F ، F (c) بزرگتر از F (x) باشد تعریف : مینیمم مطلق : هرگاه به ازای هر X از دامنه F ، F (c) کوچکتر مساوی F(c) باشدقضیه :اگر تابع F در بازه بسته [ a , b ] پیوسته باشد ۀنگاه F داری ماکس و مینیمم مطلق روی این بازه استمثال : ماکزیمم و مینیمم مطلق تابع F(x) = 2x³ - 9x² + 12x در فاصله بسته [ 0 , 3 ] پیدا کنیدتوضیح حل مسئله : ابتدا مشتق اول را محاسبه کرده ، ریشه های آن را تعین کرده ، سپس مقادیر F برای نقاط ابتدا و انتهای بازه و همچنین ریشه های مشتق اول را بدست می آورینم و بین این نقاط بیشترین ماکس مطلق و کمترین مینیمم مطلق می باشد و در مرحله بعدی جدول تعین علامت را برای تعین نقاط ماکزیمم و مینیمم رسم می کنیمتقعر و تحدب و نقطه عطف :نمودار تابع y = f(x) در نقطه ( a, f(x) ) مقعر است هرگاه1- F´(a) موجود باشد2- نمودار تابع در بازه بازی شامل (x =a) در بالای خط مماس بر نمودار در این نقطه باشدنمودار تابع y = f(x) در نقطه ( a, f(x) ) محدب است هرگاه1- F´ (a) موجود باشد2- نمودار تابع در بازه بازی شامل (x =a) در پائین خط مماس بر نمودار در این نقطه باشدقضیه :اگر F"(C) >0 باشد آنگاه نقطه ( F(c) , C ) مقعر استاگر F"(C) باشد آنگاه نقطه ( F(c) , C ) محدب استمثال : تعین کنید F(x) = x - 2x³ + x² در چه بازه ای محدب و مقعر استتعریف :( a , F(x) ) نقطه عطف تابع است1- F´(a) موجود باشد 2- بازه بازی شامل a موجود باشد که به ازای هر x از این بازه الف ) اگر F"(x) > 0 و اگر x F" (x) است ب ) اگر F"(x) a و اگر F" (x) > 0 X مثال : F(x) = 2x³ + 3x² - 7x +1 در کدام بازه مقعر و محدب است نقاط عطف را تعین کنید( عطف یعنی مشتق دوم تغیر علامت می دهد )قضیه : فرض کنیم F در بازه بازی شامل (a) مشتق پذیر باشد و نقطه ( a , f(a) ) عطف باشد اگر F"(a) موجود باشد آنگاه F"(a) = 0 استروش تعین نقطه عطف :1- F"(x) = 0 باشد 2- F" (x) وجود نداشته باشدرسم نمودار تابع :تابع Y = f (x) اگر وقتی x → a+ یا - x → a به ∞ ± میل کند تابع مجانب قاتم دارددر توابع F(x) = P(x) اگر صورت مخرج عامل مشترک نداشته باشد آنگاه مخرج g (x) = 0 است g (x) مثال : تابع F (x) = x – 3 مجانب قائم را پیدا کنید (x²-1) (x+2) تعریف : اگر ∞ ±X → برود y → b ( b یک عدد است ) برود مجانب افقی استمثال : مجانب افقی F(x) = 4x² -3x -1 2x²+5x+7 مجانب مایل : اگر ∞ ±X → برود نمودار مایلی مانند y = ax + b بدست می آید 1- حد Lim f (x) را حساب می کنیم مقدار آن را a قرار می دهیم x ∞ + x →2- حد Lim f (x) – ax را حساب کنیم مقدار آن را b قرار می دهیم ∞ + x →مثال :F (x) = 4x² - 3x + 2 x – 1 اگر در معادله F(x , y ) = 0 با تبدیل y → - y معادله تغیر نکند محور x ها محور متقارن استاگر با تبدیل x → - x معادله تغیر نکند محور y ها محور تقارن استاگر با تبدیل x → y تغیر نکند محور x = y محور تقارن استاگر با تبدیل y →- y تغیر نکند محور مبدا محور تقارن استرسم نمودار با استفاده از مشتق :F (x) = x³ + 5x² + 3x -9F´ (x) = 3x² + 10x +3 F´ (x) = 3x² + 10x +3 = 0 Δ = b² - aac = 10² - 4 (3×3) 100 – 36 = 64 X1 = - b + √ Δ = -10 + √ 64 = -2 = -1 2a 2×3 6 3X2 = X1 = - b - √ Δ = -10 – 8 = -18 = -3 2a 2×3 6 x-∞ -3 -5 +∞F´´--++F´+--+Fمحدبمحدبقعرمقعر F(x) = x³ + 5x² +3x-4F(-3) = (-3)³ + 5(-3)²+3(-3)-4 = 5نمودار را رسم کنید وجود ندارد تعریف نشده نقطه 0 نقطه بحرانی استقضیه مقدار میانگین اگر تابع f در فاصله بسته [a,b] پیوسته باشد و در فاصله باز (a,b) مشتق پذیر باشد حداقل یک نقطه مانند C در فاصله باز (a,b) وجود دارد که این رابطه مثال: در فاصله بسته [2,0] را در قضیه مقدار میاتگین بررسی کنید X + 1 = 0 => X = -1نکته : اگر F(x) دامنه IR باشد در نتیجه در IR پیوسته است مثال : قضیه مقدار میانگین را در بازه [0,1] حساب کنیدچون f یک تابع چند جمله ای است پس دامنه آن کلیه اعداد حقیقی است بنابراین در IR پیوسته است لذا f در فاصله [0,1] پیوسته است در نتیجه در فاصله باز (0,1) مشتق پذیر است C=0 , 3C-2=0 3C-2=0 3C=2 قضیه تیلور : فرض کنیم تابع F(x) در اطراف نقطه a دارای مشتق از هر مرتبه ای باشد انگاه در هر نقطه x در اطراف X= a داریم! = فاکتوریل : هر عددی که بخواهیم از آن فاکتور بگیریم برگردیم به عقب تا یک0! = 1 1! = 1 2! = 2×1=2 3! = 3×2×1=6 5! = 5×4×3×2×1=120اگر در قضیه تیلور بجای a صفر قرار بدهیم می شود سری مکلورنمثال : یری تیلور و مکلورن در نقطه X= 1 را بدست آورید مکلورنمثال: بسط تیلور را در نقطه x=0 را بدست آوریدمشتق تابع نمای خودش می شود تقریب تابع با استفاده از قضیه تیلور :فرض کنیم f و n+1 مشتق پذیر باشد آنگاه به ازای هر x از I وجود داشته باشد عضو (x,c) که اگر در این فرمول بجای n صفر قرار دهیم قضیه مقدار میانگین بدست می آیدمثال : مقدار تقریبی را حساب کنید ( تقریب خطی )توضیح حل مسئله : ابتدا مشتق اول و مشتق دوم را محاسبه کرده سپس مقدار X را 65 قرار می دهیم و C را 64 قرار می دهیم ( چون نزدیک ترین عدد به 65 در جزر گیری است ) در ادامه درقضیه تیلور جایگذاری می کنیم قانون: بهجای عدد ایکس می گذاریم X = 65 C = 64صورتهای مبهم : ، ، مبهم هستند و برای رفع ابهام از قاعده هوبیتال استفاده می کنیم قاعده هوپیتال : اگر حد و باشد آنگاه مثال : برای رفع ابهام از قاعده هوپیتال استفاده می کنیم . ابتدا مشتق می گیریم . بعد عدد x را جاگزاری می کنیم مثال : قانون هوپیتال => دوباره هوپیتال => نکته : اگر و باشد آنگاه حد مثال : عدد بر بی نهایت = صفر است مشتق صورت مشتق مخرجهوپیتال => حالت : ، اگر و باشد آنگاه مثال :=> هوپیتال => => هوپیتال = >مثال : وجود ندارد مشتق صورت مثال :XLnx = 0 × ∞ => => هوپیتال =>مثال : هوپیتال => حالت : اگر و باشد آنگاه مثال : قانونهوپیتال=>هوپیتال => =0دیفرانسیل :فرض کنید تابع y = F(x) تابع مشتق پذیر باشد و فرمول محاسبه مقدار تقریبی یک تابع تعریف : هرگاه تابع Y=F(x) مشتق پذیر باشد دیفرانسیل y را با dy نمایش می دهیم و برابر است با یا مثال : مقدار تقریبی را با استفاده از مفعوم دیفرانسیل پیدا کنید x=16 نزدیکترین عدد به 18 است 18-16=2 =مثال :مقدار تقریبی را با استفاده از مفهوم دیفرانسیل پیدا کنید x=16 نزدیکترین عدد به 17 است 17-16=1 مثال : دیفرانسیل تابع y= Ln(3x+4) را حساب کنیدY=Ln(3x+4) = مثال : و dy را برای را در نقطه x=0 با فرض را محاسبه کنیدانتگرال نامعین : تعریف : تابع F(x) را یک تابع اولیه یا ضد مشتق یا پاد مشتق F(x) در بازه I می نامیم اگر به ازای هر x از I داشته باشیم F´(X) = f(x)مثال : یک تابع اولیه برای f(x) = بدست آورید F(x) = => f(x) = انتگرال ضد مشتق استتعریف : اگر F(x) یک تابع اولیه f(x) در بازه I باشد عبارت F(x) + x را که در آن c یک عدد ثابت است انتگرال نامعین تابع f می نامیم و با نشان می دهیم بنابراین تابه F(x) را انتگرال و نماد را نماد انتگرال می نامیمویژگی های انتگرال نامعین :فرض کنیم توابع g , f بر بازه I مشتق پذیر باشد . الف ) : اگر c عدد ثابتی باشد آنگاه ب ) : در انتگرال که دو جمله دارد به این صورت است که فرمولهای انتگرال گیری : 1) : 2) : مثال 3) : مثال 4) :LN│X│+ C2 LN│X│+ C مثال 5) : LN│u│+ CLN ││+C مثال6) : مثال 7) : مثال u= 5x →dx = 5dx مثالمثالu = -3x => dx = -3dxمثالu = 2 8) : ( a ≠ 1 , a > 0 ) مثال 9) : مثالu = 5x = > du = 5dxانتگرال توابع مثلثاتی :1- 2-du= -cosu + cمثال : dx = ?u = 5x = > du = 5du5x 5×dx = u du = 3- cosx dx = sinx + c4- cosu du = sinu + cمثال : مثال : 3x dxu = 3x du = 3dx 3×dx du = 5 - dx = -Ln │cosx│+ C ویا Ln │secx│+ C6- dx = Ln │Sinx│+ C7- dx = tag x + C8- dx = - cot x + C9- x dx = secx + C10-x dx = -csc x + C11- dx =tgx + C12- dx = - cotx + cمثال : dxdx + مثال==│x│-5=│x│+ 5مثال =مثال :u dx = ?dx + x du = sinx + Ln │sinu│+ Cمفهوم خطاها :در اندازه گیری ها مقدار اندازه گیری شده با مقدار واقعی متفاوت است این تفاوت Δx اعم از این که مثبت یا منفی باشد خطای مطلق x می نامیم با معیاری به نام خطای نسبی می توان دقت اندازه گیری را بهتر سنجید این خطا به صورت درصد بیان می شود و خطای درصد یا درصد خطا نامیده می شود مثال : طول ضلع مربعی با حداکثر خطای 0.5 سانتی متر برابر 5.1 سانتی متر اندازه گیری شده است خطای نسبی درصد خطا در محاسبه مساحت مربع را حساب کنیدS = مساحت مربع ds = 2x dxخطای نسبی = X = 5.1 dx = 0.5در صد خطا %196 ×100 = 1.96روشهای انتگرال گیری :روش اول ، روش تغیر متغیر : در این روش باید عبارتی به عنان متغیر u در نظر بگیریم سپس از طرفین تساوی بدست آمده مشتق گرفته و در انتگرال جاگزاری می کنیم . در حالت های زیر از تغیر متغیر استفاده می کنیم 1- زمانی که عبارت چند جمله ای بصورت توان دار یا در زیر رادیکال یا در مخرج کسر واقع باشد . در این صورت عبارت داده شده را u در نظر گرفته و مانند بالا عمل می کنیم 2- زمانی که تابع داده شده نمای باشد در این حالت اگر توان نمایی جمله ای غیر از x بود آن را u در نظر گرفته و مانند بالا عمل می کنیممثال حالت اول := du = 2x dx از طرفین تساوی مشتق می گیریم مثال : du = 0 - 12 بجای صورت کسر می گزاریم در یک12- ضرب کرده و 12- تقسیم می کنیم = مثال du = 10x dx یکی به توان اضافه می کنیم و با معکوس در ضرب می کنیم در 10 ضرب می کنیم بر 10 تقسیم می کنیممثال : du => مثال حالت دوم : du = = مثال : du = 4x dx مثال : du = 8x dx روش دوم : روش جزء به جزءزمانی که تابع انتگران ( داخل انتگرال) هیچ دام مشتق یک دیگر نباشد در این صورت انتگرال گیری جزء به جزء استفاده می کنیم . برای این کار ابتدا باید u را پیدا کنیم . برای محاسبه U اولوبت زیر را در نظر می گیریم1- توابع معکوس مثلثاتی و توابع لوگاریتمی 2- چند جمله ای هااز تساوی بالا مشتق می گیریم و سپس در فرمول جایگزاری می کنیم بعد از پیدا کردم u بقیه جملات انتگران را dv در نظر گرفته . سپس از این تساوی انتگرال می گیریممثال : u = x du = dxانتگرال => I = uv - => جاگزاری => > مثال :u = n du = dx => انتگرال => => I = uv - = روش سوم : روش تجزیه کسرهایک تابع گویا ( کسری ) تابعی است که بصورت خارج قسمت دو تابع چند جمله ای بیان شود . اگر در تابع گویای که در درجه چند جمله ای p(x) بیشتر از درجه چند جمله ای q(x) باشد این کسر مجازی است و در این حالت می توان صورت را بر مخرج تقسیم کرد تا یک مسر حقیقی بدست آید . کسر ها بصورت را در نظر می گیریم برای محاسبه انتگرال مخرج کسر را تجزیه می کنیم مثال :1 = (A+B) X – 2A + B صورت کسر اول با صورت کسر آخر را با هم برابر می کنیم 1 = (A+B) X – 2A + B صورت کسر اول با صورت کسر آخر را با هم برابر می کنیم => A = -B = - A= -3B = 1 B = │u│+c => │x + 1 │+ Ln │x-2│+Cتوضیح حل مسئله : در این روش ابتدا مخرج کسر را باید تجزیه کرد . سپس کسرها را تفکیک می کنیم در ادامه باید مقدار A و B را پیدا کنیم برای این کار مخرج مشترک گرفته صورت آخرین کسر را با صورت اولین کسر مساوی قرار می دهیم سپس با حل دستگاه مقدار A و B را پیدا می کنیم . در ادامه A و B را جاگزاری کرده انتگرال می گیریم مثال : صورت آخرین کسر را با اولین کسر برابر کی کنیم A = 01= Ax + A + B A + B = 1 => B = 1انتگرال معین :ساخت یک ناحیه : تابع نامنفی y = f(x) در بازه [a,b] در نظر گرفته شده است مساحت ناحیه محدود به نمودار تابع نامنفی y = f(x) و محور xها و خطوط x = a و x = b برابر است با و اگر تابع f دربازه [a,b] پیوسته باشد آنگاه حد بالا وجود دارد و تابع f روی بازه داده شده انتگرال پذیر است . انتگرال تابع از a تا b را با نماد نمایش می دهندقضیه اساس حساب دیفرانسیل و انتگرال :فرض کنید تابع بر بازه بسته [a,b] پیوسته باشد اگر مشتق اولیه برابر بت f کوچک باشد آنگاه نکته: بنابرقضیهاسای بالا برای محاسبه انتگرال معین کافی است یک تابع اولیه برای f مانند F پیدا کرد سپس تفاضل مقدار این تابع اولیه را در x = a از مقدار آن در x = b بدست آوریم تذکر : C ثابت انتگرال گیری در مقدار انتگرال معین تاثیری ندارد . بنابراین مقدار انتگرال معین بستگی به انتخاب نوع تابع اولیه نداردمثال : مثال : u = 4x + 1 = > du = 4dx خواص انتگرال معین : فرض کنیم توابع f و g بر بازه بسته [a,b] پیوسته باشد آنگاه 1- 2- 3- 4- 5- ، مثال :انتگرال معین تابع F(x) = را در بازه [0,3] محاسبه کنیدLim F(x) = Lim F(x) = F(a) تابع F بر بازه [0,3] پیوسته است بنابراین f در این بازه انتگرال پذیر استپیوسته است کاربردهای دیگر انتگرال معین :مساحت ناحیه محدود به نمودار f(x) محور xها در بازه [x,b] از رابطه مثال : مساحت ناحیه محدود به نمودار محور x ها و خطوط x = 0 و x = 1 را محاسبه کنید مثال : مساحت ناحیه محدود به نمودار تابع محور x ها و خطوط X = -1 و X = 1 را بدست آوریدسطح محصور بین دو منحنی g , f : هرگاه توابع g , f بر فاصله بسته b , a پیوسته باشد برای محاسبه سطح محصور g , f و خطوط x = b , x = a در صورتی که باشد از رابطه مثال : سطح محصور g(x) = و F(x) = 2 –x و خطوط x = 1 و x = -2 را بدست آورید محاسبه حجم حاصل از دوران :حجم حاصل از دوران یک ناحیه حول محور جسم دوار نامیده می شود . حجم حاصل از دوران سطح محصور بین منحنی f و خطوط x = a و x = b و y = 0 حول محور x ها برابر است با مثال : حجم حاصل از دوران محور و خطوط y = 0 و x = 4 حول محور x ها را بیان کنید مثال : حجم حاصل از دوران سطح محور بین منحنی و y = 1 و y = 8 و x = 0 حول محور y ها را بیان کنید مثال :سطح محصور بین منحنی های F(x) = x و و خطوط x = c و x = 3 حول محور xها مفروض است . حجم محصور بین دو منحنی را بنویسید طول منحنی F : مثال : طول منحنی و بین خطوط x = 1 و x = 2 را بیابید تعریف جرم کل : انتهای چپ میله ای به طول L متر در مبدا قرار دارد اگر چگالی خطی در نقطه ای که x متر از آن فاصله دارد بر حسب کیلوگرم بر متر برابر با و بر [ 0 , L ] پیوسته باشد . آنگاه جرم کل میله m کیلو گرم است .جرم گشتاور جرم مرکز جرم مثال: مطلوب است مر کز جرم میله ای به طول 2 فوت ، اگر چگالی در نقطه ای به فاصله x فوت از انتهای چپ آن باشد و = xتعریف : فرض کنید L ورقه همگنی باشد که چگالی سطحی ثابتش K کیلو گرم بر متر مربع است و محصور بین منحنی Y=f(x) محور x ها و خطوط x = a و x = b است تابع f بر [a,b] پیوسته است و به ازای جمع مقادیر x در [a,b] ، f (x) ≥0 اگر کشتاور جرم ورقه L نسبت به محور y ها my کیلوگرم بر متر باشد واگر گشتاور ورقه L نسبت به محور x ها mx کیلو گرم بر متر باشد جرم کل مرکز وار ورقه L مثال : مرکز وار ناحیه واقع در ربع اول و محصور بین منحنی و محور x ها و خطوط x=1 و x = 4 را پیدا کنید جزر دوم => اعداد مختلط :تعریف : اگر a , b دو عدد حقیقی باشند هر عبارت به صورت a + bi را یک عدد مختلط می گویند . مجموعه این اعداد را مجموعه اعداد مختلط می گویند و با c نشان می دهندC = { a + bi │ a , b ε IR , }در عدد مختلط Z = a + bi a را قسمت حقیقی و b را قسمت موهومی Z نامیده شده و Rez ( واقعی ) و Imz ( موهومی ) نشان می دهیم . اگر b = 0 عدد مختلط Z =a را با عدد حقیقی a مساوی می گیریمتعریف : اگر z = a + bi و W = c + di دو عدد مختلط باشند آنگاه Z =W اگر و تنها اگر این رابطه برقرار باشد تعریف : اگر z = a + bi و W = c + di دو عدد مختلط باشند و K یک عدد حقیقی باشد اعمال جمع ، تفریق و ضرب را بصورت زیر تعریف می کنیم Z + W = ( a + bi ) + (c + di ) => ( a + c ) + ( b + d )iZ = W = ( a + bi ) - (c + di ) => ( a - c ) + ( b - d )iZ × W = ( a + bi ) × (c + di ) => ac + adi + bci – bdبا توجه به تعریف چون است پس بجای می نویسیم –bd K × Z = K ( a + bi ) = Ka + (kb )iمثال : عبارت های زیر را بدست آورید .Z = 2 + 5i w = 3 – 2i K = 2Z + W = (2 + 5i ) + ( 3 – 2i ) = ( 3+ 2 ) + (5 – 2 )i = 5 + 3iZ – W = ( 2 + 5i) – ( 3 – 2i ) = ( 2 – 3 ) + ( 5 – ( -2 )i = -1 + 7i(2 + 5i) × ( 3 – 2i ) = (6 – 4i ) + ( 15i + 10 ) = ( 6 + 10 ) + ( 15i – 4i) = 16 + 11iKz = 2 ( 2 +5i ) = 4 +10iتعریف : اگر Z = a + bi و یک عدد مختلط باشد عدد را مزدوج Z می نامیمZ = 5 + 3i = 5 -3iتعریف : اگر Z = a + bi و W = c + di دو عدد مختلط و باشد تقسیک دو عدد مختلط را بصورت زیر تعریف می کنیم مثال : عبارت زیر را بدست آورید .Z = =قضیه : برای دو عدد مختلط W , Z روابط زیر بر قرار است1- 2- 3- 4- 5- مثال :Z = 1 + 2i W = -2 -3i ( 1 + 2i ) ×(1 – 2i) = ( 1 -2i) + (2i-(-4))= 1 + 4 = 5 ( 1 + 2i)+(-2 +3i)=(1+(-2))+(-2i+3i)=-1+i==تعریف : اگر Z = a + bi یک عدد مختلط باشد قدر مطالق z را با نماد│Z│ نمایش می دهیمقضیه : برای دو عدد مختلط w , z روابط زیر بر قرار است .1- 2- 3- 4- 5- 6- 7- مثال : عبارات زیر را در مجموعه اعداد مختلط حساب کنید .1- 2- Z = 3 – 4i = > Rez = 3 Imz = -4 معادله های زیر را حل کنید : نمایش های یک عدد مختلط :نمایش دکارتی یک عدد مختلط : بین مجموعه اعداد مختلط و نقال صفحه مختصات می توان یک تناظر یک به یک به این صورت برقارا کرد که به هر عدد مختاط a + bi نقطه (a , b ) و به هر نقطه مانند ( c , d ) عدد مختلط c + bi نسبت دهیم در این حالت محور x ها محور حقیقی و محور y ها محور موهومی نام دارد و فاصله z تا مبدا مختصات برابر است . این نمایش را هندسی ، مربعی ، استاندارد نیز می گویندنمایش قطبی عدد مختلط : هرگاه نمایش هندسی عدد مختلط Z = a + bi در دستگاه مختصات دکارتی نقطه A باشد اگر را زاویه ای که بردار با جهت مثبت محور x ها می سازد قرار دهیم شعاع و چون قطبی استa = r cos و b = r sin پس z می شود نمایش فوق را نمایش قطبی یا مثلثاتی z می گویم و نمایش قطبی عدد Z = i را بنویسیدZ= i => Z = 0 + 1i r = 1قضیه : فرض کنید z و w دو عدد مختلط باشندZ= r (cosӨ + isinӨ) ، 1 : 2 : 3: مثال : و 1: => 2: => = 3: => n = 3ریشه های اعداد مختلط :n ریشه متمایز عدد z می باشد و k برابر است با K= 0 , 1 , 2 , . . . , n-1 مثال : ریشه های معادله را در مجموعه اعداد مختلط بنویسیدn = 5 K = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 Z = -1 => -1 +0iZ = r(cosӨ+sinӨ) = > 1(cos => K = 0 => K = 1 => K = 2 => K = 3 => K = 4 => ماتریس و دترمینان : هر جدولی از اعداد که شامل m سطر و n ستون باشد یک ماتریس m در n می نامیم .1 2 3 10 1 2 21 0 1 3 سطر و 3 ستون 3 1ستون و 3 سطرتعریف : هرگاه ماتریس تنها دارای یک سطر باشد آن را ماتریس سطری می گویندهرگاه ماتریس تنها دارای یک ستون باشد آن را ماتریس ستونی می گوینداگر تمام عناصر ماتریس صفر باشد آن را ماتریس صفر می نامیمماتریسی که تعداد سطر ها و ستون های آن برابر باشد ماتریس مربعی یا همانی یا واحد می نامیم و با In نمایش می دهیم در ماتریس های که سطر و ستون آنها یکی است . به این قسمت قطر اصلی گفته می شود a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n ………………… an1 an2 . . . annدو ماتریس وقتی با هم مساوی هستند اگر تک تک درایه های آن دو به دو با هم مساوی باشند1 2 1 22 4 = 2 4مثال : a را طوری پیدا کنید که دو ماتریس زیر با هم مساوی باشند 3 -1 3 -12a 5 4 5مثال :ماتریس های و را در نظر بگیرید . مرتبه های A و B را تعین نموده و سپس همانی مربوط به هر ماتریس را بنویسیدتعریف : A ماتریس m×n و B ماتریس m×n باشد و K یک عدد حقیقی باشد الف : حاصلجمع در ماتریس را با A + B نشان می دهیم ( تک تک درایه های هر ماتریس را با هم جمع می کنیم )ب : حاصلضرب عدد حقیقی K در ماتریس A را با KA نمایش می دهی نکته : با استفاده از تعریف الف باید تعداد سطر ها و ستون های ماتریس A و B یکسان باشدمثال : فرض کنیم A = B = A + B = 2A + 3B = ?2A = 2B = 2A + 3B = تعریف : اگر A ماتریس m×n باشد ماتریس -1 × A را قرینه A می دانیممثال : A = -A = تعریف : اگر A ماتریس m×n باشد A – B را بصورت زیر تعریف می کنیم ( A را با قرینه B جمع می کنیم )A = B = -B = A + (-B) = قضیه : اگر A , B , C سه ماتریس m×n باشد و K و H در عدد حقیقی باشد آنگاه الف : K ( A + B ) = KA + KB ب : ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ج : K ( A + B ) = KA +KB د : ( K + H ) A = KA , HA مثال : فر ض کنید A = B = C = قضیه بالا را برای آن محاصبه کنید و K = 3 و H = 5الف : A + B = B +A ب : A + ( B + C ) = ( A + B ) + C = + = == + =ج : K ( A + B ) = KA +KB3 ( A + B ) = + = د : ( K + H ) A = KA + HA ( 3 + 5 )A = + =مثال : فرض کنیم A= و B= باشد ماتریس C را طوری پیدا کنید که 3A – 2C = 4B باشد3A = -2C = -2C = - = C = ضرب دو ماتریس :حاصلضرب دو ماتریس A×B را بصورت زیر محاسبه می کنیم A = × B = = سطر ×ستون سطر ×ستوندر صورتی حاصلضرب دو ماتریس A×B وجود دارد که این رابطه بر قرار باشد سطر دومی = ستون اولیمثال :A = B= A × B = = قضیه : اگر A ماتریس مربع n × n باشد مثال : = == =قضیه :اگر A و B و C 3 ماتریس باشند (AB)C = A(BC) قضیه :اگر A و B و C 3 ماتریس باشند C(A+B) = CA + CBترانهاده ماتریس :اگر در ماتریس A جای سطر ها و ستون ها را بایکدیگر عوض کنیم ماتریس حاصل ترانهاده ماتریس A می باشد و آن را با نمایش می دهندA = = B = = قضیه : اگر A و B د. ماتریس MхN باشد و K عدد حقیقی باشدالف : ترانهاده ، ترانهاده هر ماتریس خودش استب : ترانهاده حاصلضرب عدد K در A برابر است با KхA ترانهاده Aج : تذانهاده مجموع دو ماتریس برابر است با ترانهاده اولی + ترانهاده دومید : ترانهاده حاصلضرب دو ماتریس برابر است با ترانهاده دومی х ترانهاده اولیمثال : K =3 A = B= 1- ()= = ()=2- ( = 3- + => 4- =دترمینان ماتریس دو در دو :در دترمینان ماتریس A را با یا detA نمایش می دهیمحاصلضرب عناصر قطر اصلی – حاصلضرب عناصر قطر فرعیad- cb = A=مثال : A = = (14) – ( 23)= 4 – 6 = -2B= = ( 06) – ( 5 1) = -5 دترمینان ماتریس n × n سطر detA= ai1Ai1 + ai2Ai2 + . . . + ain Ainستون AiJمثال :A= فرمول AiJروش حل : 1- انتخاب هر سطر یا ستون دلخواهستون سوم +سطر اول ستون دوم +سطر اول ستون اول+سطراول عدد اول سطر اول فرمول عدد دوم سطر اول عدد سوم سطر اولمثال : A = = 2خواص دترمینان :1- دترمینان ماتریس A با دترمینان ترانهاده اش برابر است 2- اگر تمام عناصر یک سطر با یک ستون ماتریس A صفر باشد انگاه دترمینان A صفر است یا 3- اگر تمام عناصر یک سطر یا یک ستون ماتریس A را در عددی مثل r ضرب کنیم دترمینان r برابر می شود با 4- دترمینان ماتریس حاصل از تعویض دو سط یا دو ستون ماتریس A مساوی با منفی دترمینان A می باشد 5- اگر دوسطر یا دو ستون ماتریس برابر باشند دترمینان آن صفر است6- دترمینان حاصل از جمع مضرب اسکالری ( عددی ) از یک سطر(ستون) یا سطری(ستون) دیگر از ماتریس A مساوی دترمینان A است 2R1+R2→R1 دوبرابر سطر اول + سطر دوم← برود به سطر دلخواه مثل R17- دترمینان حاصلضرب دو ماتریس A×B برابر است با دترمینان ماتریس اول ضرب در دترمینان ماتریس دوم8- دترمینان ماتریس قطری برابر است با حاصلضرب عناصر روی قصر اصلی 9- دترمینان ماتریس همانی (n×n , 2×2 , 3×3) برابر است با یک 10- دترمینان ماتریس مثلثاتی برابر است با حاصلضرب عناصر قطر اصلیمثال : دترمینان ترانهاده را پیدا کنید => بنابر خاصیت یک مثال : بنابر خاصیت دوم بنابر خاصیت پنجم . دوستون یکسان داردمثال: = => مثال : و تعریف : ماتریس A را منفرد گوئیم هرگاه دترمینان Aبرابر صفر باشد و در غیر اینصورت دترمینان آن عدد شود آن را منفرد گوئیمتعریف :ماتریس مربع A با درایه های nn را وارون پذیر گویئم اگر ماتریس مانند B با در ایه های nn وجود داشته باشد بطوری که از هر طرفی ضرب کنیم هر دو تا بود همانی AB=BA=In . اگر A ماتریس وارون پذیر باشد آنگاه وارون آن تنها یمی باشد آنرا با نشان می دهیم محاسبه ماتریس وارون ماتریس A : برای محاسبه ماتریس وارون با استفاده از دترمینان از روش زیر استفاده می کنیم . دترمینان A را بدست آورده ، آن را معکوس می کنیم (وارون می کنیم مثلا 2 =>) سپس ماتریس الحاقی آن را بدست می آوریم برای محاسبه ماتریس الحاقی به روش زیر عمل می کنیم . ماتریس را بسط داده(گسترش می دهیم ) وتنها فرق آن با محاسبه دترمینان این است که در هر مرحله که سطر ها را بسط می دهیم نیاز به نوشتن درایه هر سطر نیست در مرحله آخر همه درایه ها معلوم شدند بصورت یک ماتریس آنها را می نویسیم . ترانهاده ماتریس بدست آمده ماتریس الحاقی می باشد . فرمول الحاقی ستون سطر ستون اول + سطر اول , , A22 = -5 , A23 = 3 A31=-5A32 = 4 , A33 = -1 adjA=>ترانهادهT = روش دوم بدست آوردن وارون ماتریس A :مثال : وارون ماتریس را تعین کنید با استفاده از تعریف وارون ماتریسAB = BA= I فرضی در نظر می گیریمB AB = I = = اعمال سطری مقدماتی :ماتریس A n×n را در نظر گرفته 1- تعویض دو سط ماتریس A2- ضرب یک سطر ماتریس A در عدد غیر صفر3- افزودن مضرب از یک سطر ماتریس A به سطر دیگرنکته : برای سطر از حرف R استفاده می کنیممثال :ماتریس A را به وسیله اعمال سطری مقدماتی همانی کنیدباید تبدیل شود به نکته : اگر دترمینان ماتریس A صفر شود در این صورت ماتریس A وارون نداردمثال :نشان دهدید ماتریس وارون ندارداز سطر دوم یک 2 خارج می کنیم از ستون وسط تقسیم بر می کنیم وارون ندارد . چون ستون اول و دوم با هم برابراند در نتیجه دترمینان صفر است و وارون نداردحل دستگاه ها به روش ماتریس :معادله های بصورت a1x1+a2x2+ … +anxn با N مجهول x1 , x2 , . . . xn را یک معادله n مجهولی خطی می نامیم و n تای (X1 , X2 , …, Xn ) از اعداد حقیقی که در این معادله صدق می کند یک جواب آن می باشد . مجموعه ای از معادلات خطیرا دستگاه m معلدله خطی n مجهولی می نامیم و n تایی(a1,…an ) از اعداد حقیقی را که در تمام معادله های دستگاه صدق می کند یک جواب دستگاه می نامیمجواب های یک دستگاه :1- یک جواب دارد 2- بی نهایت جواب دارد 3- اصلا جواب نداردروش کرامر : اگر ماتریس ضرایب یک دستگاه n معادله ای n مجهولی وارون پذیر باشد آنگاه تنها جواب دستگاه برابر است با نکته : اگر تعداد مجهولها با تعداد معادله های یک دستگاه خطی برابر باشد و ماتریس ضرایب دستگاه وارون پذیر باشد آنگاه دستگاه همواره دارای یک جواب منحصر بفرد استبرای روش کرامر ابتدا دترمینان ماتریس A را بدست آورده سپس برای بدست آوردن دترمینان detA1به جای ستون اول ماتریس A، ماتریس طرف دوم را قرار می دهیم سپس دترمینان آن را محاسبه می کنیم در ادامه برای بدست آوردن دترمینان detA2 به جای ستون دوم ماتریس طرف دوم دستگاه را جاگزاری کرده و دترمینان آن را محاسبه می کنیم و برای محاسبه دترمینان detA3 به جای ستون سوم ماتریس طرف دوم را قرار می دهیم و دترمینان آن را محاسبه می کنیممثال : دستگاه زیر را از روش کرامر حل کنیدابتدا ماتریس را بیرون می کشیم بجای ستون اول ماتریس A طرف دوم دستگاه را قرار می دهیم بجای ستون دوم ماتریس A طرف دوم دستگاه را قرار می دهیم بجای ستون سوم ماتریس A طرف دوم دستگاه را قرار می دهیم قضیه : اگر A , B دو ماتریس مربع n×n وارون پذیر باشد آنگاه ماتریس حاصلضرب AB وارون پذیر استنکته : اگر دستگاه m معادله خطی n مجهولی طرف دوم تمام معادلات صفر باشددستگاه را همگن می نامیم قضیه : دستگاه n معادله خطی n مجهولی دارای یک جواب غیر بدیهی( غیر صفر) است اگر و تنها اگر دترمینان ماتریس ضرایب دستگاه صفر باشدمثال :دستگاه زیر را حل کنیدچون سمت راست همه صفر است همگن است

نمونه سوالات وجزوه ریاضی عمومی

مطالب مشابه :

روشهای محاسبه دترمینان

راهنمایی درمورد برنامه محاسبه دترمینان ماتریس (به درخواست محمد رضا)

نمونه برنامه های حل شده برنامه نویسی ++c برای درس محاسبات عددی

سرفصل درس ریاضی کنکور ارشد شهرسازی

نمونه سوالات وجزوه ریاضی عمومی