مساحت ذوزنقه واثبات

    مساحت ذوزنقه

توضیح اولیه

در این درس، فرمولی برای مساحت ذوزنقه به دست خواهد آمد.

اهداف

• اندازه گیری ابعاد مستطیل و مثلث و محاسبه مساحت آن ها.
• استفاده از دانش خود در مورد فرمول مساحت مستطیل برای پیدا کردن مساحت ذوزنقه.
• کشف روش های دیگر برای تعیین مساحت ذوزنقه.
• محاسبه مساحت ذوزنقه با دانستن اندازه ارتفاع و قاعده هایش.

وسایل لازم

• خط کش
• قیچی
• ماشین حساب
• برگه فعالیت "ذوزنقه ها"
• برگه مدرج سانتی متری
• فعالیت کامپیوتری "مساحت ذوزنقه ها"

•  

  طرح درس

برای شروع، به دانش آموزان فرصت دهید تا مساحت ذوزنقه ها را تخیمن بزنند. آن ها می توانند در هر گروه، کاغذ سانتی متری شفاف را روی ذوزنقه های موجود در برگه فعالیت"ذوزنقه ها" قرار دهند و مساحت کل آن ها را بر حسب سانتی متر مربع حدس بزنند. (اگرامکان تهیه برگه سانتی متری شفافرا ندارید، می توانید برگه مدرج را روی کاغذ نازک تکثیر کنید.) در ادامه درس، دانش آموزان با اندازه گیری و استفاده از یک فرمول، مساحت ذوزنقه را محاسبه خواهند کرد و پاسخ خود را با تخمینی که در این قسمت داشته اند مقایسه می کنند.

 

برای قسمت اصلی درس، دانش آموزان باید در گروه های سه نفره کار کنند و همه آن ها باید در گروه فعالیت کنند، ولی می توانید کارها را به صورت زیر تقسیم کنید:

1. مسئول یادداشت: ثبت تمام اطلاعات مهم
2. مسئول محاسبات: تأیید تمام اندازه گیری ها و محاسبات
3. مسئول گزارش: گزارش اطلاعات مربوط به کلاس

این تقسیم وظایف مهم است، زیرا باعث می شود همه دانش آموزان در گروه پاسخگو باشند. هر دانش آموز باید به طور فعال در کار گروهی شرکت کند و هیچ کدام هم ناچار نیست تمام کار را به تنهایی انجام دهد.

وقتی که دانش آموزان گروه بندی شدند،یک ذوزنقه متعارف،مانند تصویر زیر را روی تخته کلاس بکشید یابا پروژکتور نمایش بدهید.

مهم ترین بخش این درس، یافتن فرمولی برای مساحت ذوزنقه است. پیش از آن، زمانی را برای اکتشاف به بچه ها بدهید. از آنها بخواهید تا روش هایی را برای پیدا کردن مساحت ذوزنقه بالا پیشنهاد کنند. برای برانگیختن آن هابپرسید: "از چه شکل هایی می توانید کمک بگیرید؟ آیا شکل هایی وجود دارند که قبلاً روش به دست آوردن مساحت آن ها را آموخته باشید؟". پس از این که دانش آموزان در هر گروه مدتی را به بحث روی پیشنهادهاپرداختند، از مسئول گزارش چند تا از گروه ها بخواهید تا نتایج خود را برای کلاس اعلام کنند.

آنان ممکن است راه های مختلفی را پیشنهاد کنند. یک راه احتمالی تقسیم ذوزنقه به سه بخش- یک مستطیل و دو مثلث- است (مانند شکل زیر).

از دانش آموزان بخواهید تا با استفاده از هر روشی که تعیین می کنند، مساحت ذوزنقه ای را با قاعده های 24 سانتی متر و 10 سانتی متر و ساق های 15 و 13 سانتی متر بهدست آورند.به همه گروه ها اجازه دهید تا مساحت را محاسبه کنند و اطمینان پیدا کنید که همه کلاس در مورد این که مساحت چیست، اتفاق نظر دارند.

این مهم است که همه گروه ها مساحت را به درستی به دست آورند. در ادامه درس، دانش آموزان مساحتی را که در این قسمت پیدا کرده اند با مساحت مستطیل به وجود آمده از تقسیم ذوزنقه مقایسه می کنند.

راه دیگر این است که ذوزنقه را مانند شکل زیر با وصل کردن وسط دو ساق به یکدیگر تقسیم کنیم. اگر چه به کمک تجزیه ذوزنقه به صورت بالا، مساحت آن به دست می آید، ولی شکل زیر، به بچه ها نشان می دهد که چگونه هر ذوزنقه را می توان به یک مستطیل تبدیل کرد و آن ها را به یافتن فرمول مساحت ذوزنقه هدایت می کند.

با جا به جا کردن دو مثلث از دو گوشه ذوزنقه و چرخاندن و انتقال آن ها به قسمت بالای ذوزنقه،یک مستطیل به وجود می آید. اندازه خط وسط، برابر با میانگین طول دو قاعده است، دانستن این نکته مهم است ودر اثبات فرمول مساحت از آن استفاده می شود. زیرا خط وسط برابر با طول مستطیل جدیدی است که به وجودمی آید و با بیان آن به صورت

2/1*(b1+b2)  می توانیم به سرعت به فرمول مساحت برسیم. برای آن که مطمئن شوید این رابطه را متوجه می شوند، از آن ها بپرسید "خط وسط چه رابطه ای با دو قاعده دارد؟" دانش آموزان ممکن است بگویند طول خط وسطی دقیقا"بین" طول دو قاعده است. یا به صورت دقیق تر، ممکن است برخی از آن ها اشاره کنند که طول این خط برابر با میانگین طول دو قاعده است.

به دانش آموزان یادآوری کنید که مساحت مستطیل برابر با حاصل ضرب طول و عرض آن است.در مورد این مستطیل، طول برابر با  2/1*(b1+b2)

و عرض آن هم برابر با ارتفاع h است. بنابراین مساحت مستطیل (و در نتیجه ذوزنقه) برابر می شود با  .این همان فرمول سنتی برای پیدا کردن مساحت ذوزنقه است.

بعد از این که این فرمول به اثبات رسید، دانش آموزان می توانند ابعاد مستطیل را اندازه بگیرند و مساحت آن را محاسبه کنند. از کلاس بپرسید "چه ارتباطی بین مساحت این مستطیل و مساحت ذوزنقه اصلی که در قسمت قبل حساب کردید وجود دارد؟" بعد از محاسبه مساحت مستطیل، باید به پاسخی برابر با پاسخ قبلی رسیده باشند. این مهم است که دانش آموزان بفهمند فقط شکل ها تغییر کرده اند، نه مساحت ها.

به دانش آموزان اجازه دهید تا در هر گروه، مساحت ذوزنقه های برگه فعالیت "ذوزنقه ها" را حساب کنند. در حین این فعالیت، به گروه ها سر بزنید و به آن ها راهنمایی های لازم را بکنید. همچنین روش های موفق بچه ها را در محاسبه مساحت هر ذوزنقه یادداشت کنید و سعی کنید تا در یک بحث کلاسی این روش ها در اختیار همه قرار گیرند. بعد ازگذشت زمان کافی، افراد کلاس را جمع کنید و در مورد نتایج کار به بحث بپردازید.

برای جلوتر بردن بحث می توانید به شکل اولیه ذوزنقه برگردید و از روش های تجزیه دیگری برای اثبات فرمول مساحت استفاده کنید. اگر دانش آموزانتان در درس عبارت های جبری آمادگی دارند، دیدن روش های  اثبات مختلف خیلی ارزشمند است.

به عنوان مثال اگر بچه ها پیشنهاد کرده بودند که ذوزنقه را به یک مستطیل و دو مثلث تقسیم کنیم،اجزای مختلف آن را مانند شکل زیر نامگذاری کنید و در باره آن ها با دانش آموزان بحث کنید.

بنابراین اثبات فرمول مساحت به روش زیر صورت می گیرد:

b1×h = مساحت مستطیل

 =½xhمساحت مثلث سمت چپ

مساحت مثلث سمت راست =½(b2 – b1 – x) × h = ½b2h – ½b1h – ½xh

و با جمع مساحت این سه قسمت، مساحت کل شکل را داریم:

A= b1h + ½xh + ½b2h – ½b1h – ½xh

A=½b1h + ½b2h

A=½(b1 + b2) h

که همان فرمولی است که پیش تر داشتیم.

ممکن است بخواهید روی فرمول مساحت ذوزنقه های خاص مانند قائم الزاویه و متساوی الساقین نیز کار کنید. اگر چه اثبات ها شبیه هستند، اما این فرصت های متعدد برای تعریف فرمول برای دانش آموزان سودمند است.

به علاوه دانش آموزان می توانند از فعالیت کامپیوتری "مساحت ذوزنقه ها" برای بررسی ارتباط بین ارتفاع و طول قاعده ها با مساحت استفاده کنند.

حالا به نتایج تخمین مساحت ذوزنقه ها در برگه فعالیت برگردید و از دانش آموزان بخواهید تا مساحت محاسبه شده را با تخمینی که زده بودند مقایسه کنند. پاسخ ها چه قدر به هم نزدیک هستند؟ آیا آن ها توانسته اند مساحت ذوزنقه ها را با اختلافی در حدود یک سانتی متر مربع پیش بینی کنند؟

برای نتیجه گیری از درس و تمرین بیشتر، بچه ها را در گروه های دو نفره قرار دهید. هر دانش آموز باید یک ذوزنقه رسم کند و ابعاد آن را اندازه گرفته، مساحت آن را حساب کند. سپس در هر گروه ذوزنقه ها را معاوضه کنند و مساحت ذوزنقه جدید را محاسبه کنند و در مورد نتایج با هم بحث کنند.

پرسش هایی برای دانش آموزان

• امروز ما در مورد روش های مختلفی برای پیدا کردن مساحت ذوزنقه صحبت کردیم. کدام روش را بیشتر دوست داشتید؟ چرا؟ آیا استفاده از فرمول برای شما ساده تر از روش های دیگر است؟

  (فرمول همیشه آسان ترین روش نیست، ولی همیشه می توان از آن برای تعیین مساحت استفاده کرد.)

   

• موقعیتی را تعریف کنید که در آن پیدا کردن مساحت یک ذوزنقه لازم باشد.

  (به طور مثال، برای رنگ کردن یک دیوار، هر گالن رنگ برای رنگ کردن حدود 30 تا 35 متر مربع کافی است. اگر یک دیوار ذوزنقه شکل احتیاج به رنگ کردن داشته باشد ، لازم است مساحت آن را برای تعیین مقدار رنگ مورد نیاز تخمین بزنیم.)

   

• بعضی ها می گویند ذوزنقه عضوی عجیب از خانواده چهار ضلعی ها است. آیا شما موافقید؟ نظر شما چیست؟ پلسخ خود را توضیح دهید.

  (در بین چهار  نوع خاص چهارضلعی ها، یعنی ذوزنقه، متوازی الاضلاع، لوزی و مربع، فقط ذوزنقه است که نیازی به دو جفت ضلع موازی ندارد. بنابراین یک تفاوت کوچک با چهار ضلعی های دیگر دارد.)

•  

  توسعه

بررسی اجرای طرح درس در کلاس

وقتی که به گفتگوهای بچه ها گوش می دادید، چه کلمات و عباراتی استفاده می کردند؟ آیا از اصطلاحات درست استفاده می کردند؟ آیا به نظر می رسید که با زبان و روند تدریس راحت هستند؟

میزان مشارکت آنها در فعالیت ها چگونه بود؟ برای ایجاد مشارکت بیشتر در آینده چه می توان کرد؟

آیا تدریس شما با سطوح گوناگون یادگیرنده ها تقریبا تطبیق داشت؟

آیا دانش آموزان یک روش یافتن مساحت را به روش های دیگر ترجیح می دادند؟ آیا آن ها چرایی و چگونگی کارکرد فرمول را درک کردند؟